2.1 Апериодический режим в цепи с источником постоянного напряжения
Условие задачи: определить токи во всех ветвях схемы рисунка 2, а также напряжение на емкости после замыкания ключа.
Исходные
параметры:
Ом;
Ом;
Гн;
мкФ;
В.
Рисунок 2 – Исходная электрическая схема
1. Установившийся режим до коммутации. Имеет место установившийся режим постоянных токов (рисунок 3).
Рисунок 3 – Схема для расчета установившегося режима до коммутации
;
А;
В.
При
А;
В.
2.
Дифференциальные уравнения описывают
токи и напряжения с момента времени
,
при этом R1
закорочено (рисунок 4).
Рисунок 4 – Электрическая схема после коммутации
(9)
3. Принужденные составляющие находятся для установившегося режима, наступающего после переходного процесса (рисунок 5).
Рисунок 5 – Схема для определения принужденных составляющих
А;
В.
4. Определение корней характеристического уравнения. Входное комплексное сопротивление схемы для послекоммутационного состояния (см. рисунок 4).
(10)
Заменяя далее jщ на р и приравнивая полученный результат к нулю, получаем
и характеристическое уравнение
(11)
корни
которого
с-1;
с-1,
следовательно, имеет место апериодический
переходный режим.
5. Определение постоянных. В результате расчета получены следующие выражения для неизвестных:
;
;
(12)
;
.
Для
нахождения постоянных
требуется предварительно вычислить
значения функций
,
,
,
и производных
,
,
,
.
Для этого необходимо обратиться к
системе (9) и записать ее для
:
(13)
Подставляя
в (13) численные значения параметров
элементов с учетом равенств
В;
А, получаем:
(14)
Решение
системы (14) дает:
А;
А;
А/с;
В/с
Для
нахождения
и
,
продифференцируем первое и третье
уравнения системы (9), запишем их при
и подставим известные величины:
Откуда
А;
А/с.
Затем
выражения (12) и их производные записываются
для момента времени
:
;
(15)
(16)
(17)
(18)
После подстановки левых частей в (15) – (18) получаем:
откуда
;
;
.
откуда
;
;
.
откуда
;
;
.
откуда
;
;
.
Построенная
в соответствии с расчетом зависимость
приведена на рисунке 6.
Рисунок 6 – График
зависимости
2.2 Колебательный режим в цепи с источником постоянного напряжения
Условие задачи: определить токи во всех ветвях схемы рисунка 2, а также напряжение на емкости после замыкания ключа.
Исходные
параметры:
Ом;
Ом;
Гн;
мкФ;
В.
1. Установившийся режим до коммутации (см. рисунок 3):
;
А;
В.
При
А;
В.
2. Дифференциальные уравнения для послекоммутационного состояния схемы:
(19)
3. Принужденные составляющие находятся из рассмотрения установившегося режима, наступающего после переходного процесса (см. рисунок 5):
А;
В.
4. Характеристическое уравнение при заданных значениях параметров элементов
имеет
корни
,
следовательно, имеет место колебательный
переходный режим.
5. Определение постоянных. В результате расчета получены следующие выражения для неизвестных:
;
;
(20)
;
.
На
этом этапе система (19) записывается для
момента времени
и после подстановки параметров с учетом
равенств
В;
А.
получаем:
В/с;
А/с.
Затем
выражения для тока в индуктивности и
напряжения на емкости и их производные
записываются для момента времени
:
(21)
(22)
После подстановки левых частей в (21), (22) получим:
откуда
;
;
;
.
В
итоге:
А;
В.
После решения системы (19) получаем:
А.
.
Построенная
в соответствии с расчетом зависимость
приведена на рисунке 7.
В этом примере показано, что достаточно определить постоянные для тока в индуктивности и напряжения на емкости, а оставшиеся токи можно найти из законов Кирхгофа.
Рисунок 7 – График
зависимости
