Размещено на http://www. аllbest.ru/

1. Переходные процессы в линейных электрических цепях

Переходным процессом называется процесс изменения режима работы электрической цепи, возникающий в результате изменений внутри самой системы или внешних воздействий на нее.

Переходные процессы вызываются коммутациями в цепи или авариями (короткое замыкание, внезапное отключение питания).

Коммутация - это процесс замыкания или размыкания ключей (выключателей) в схеме.

Переходные процессы обычно являются быстропротекающими: длительность их составляет десятые, сотые доли секунды.

Тем не менее изучение ПП важно, так как позволяет:

- выявить возможные опасные режимы работы цепи, в том числе превышения напряжения на отдельных участках цепи, которые опасны для изоляции;

- возможные увеличения амплитуд токов;

- установить, как меняются по форме и амплитуде сигналы при прохождении их через трансформаторы, а также устройства управления и распределения электрической энергии, радиотехнические устройства, например усилители, фильтры и др.

Конечность времени перехода электрической цепи от одного установившегося режима работы к другому объясняется тем, что каждому состоянию цепи соответствует определенный запас энергии электрических и магнитных полей. Переход к новому режиму связан с нарастанием или убыванием энергии этих полей.

Энергия, запасенная в магнитном поле индуктивности , и энергия, запасенная в электрическом поле емкости не могут изменяться мгновенно, скачком, так как при этом мощность, равная производной энергии по времени, достигала бы бесконечных значений, что физически невозможно, т.е. и .

Из сказанного следуют законы коммутации:

1. Ток через катушку индуктивности не может изменяться скачком. Его значение до коммутации равно значению непосредственно после коммутации

.

Рисунок 1 - Графическое изображение момента коммутации

Моменты времени t=0- и t=0+ означают моменты времени непосредственно до и после коммутации, а t=0 - момент коммутации.

2. Напряжение на конденсаторе не может изменяться скачком. Его значение до коммутации равно значению непосредственно после коммутации:

.

При этом следует отменить, что токи в резисторах и конденсаторах, а также напряжения па резисторах и катушках индуктивности могут изменяться скачком.

Значения тока в катушке индуктивности и напряжения на конденсаторе в момент коммутации называются независимыми начальными условиями. При нулевых независимых начальных условиях, т.е. когда и , действие катушки в начальный момент после коммутации равносильно разрыву в цепи . а действие конденсатора равносильно короткому замыканию .

В случае ненулевых независимых начальных условий, т.е. когда и , катушка в начальный момент после коммутации равносильна источнику тока , а конденсатор равносилен источнику ЭДС .

Значения остальных токов и напряжений в схеме после коммутации называются зависимыми начальными условиями и определяются из законов Кирхгофа по независимым начальным условиям.

2. Классический метод анализа переходных процессов

Первым этапом классического метода расчета переходных процессов является составление дифференциального уравнения для искомой переменной электрической цепи на основе законов Кирхгофа при мгновенных значениях токов и напряжений. Дифференциальное уравнение составляется для схемы после коммутации.

Вторым этапом классического метода является нахождение решения дифференциального уравнения, которое представляет собой сумму частного и общего решений.

Частное решение находят для установившегося режима, когда переходный процесс в электрической цепи закончен.

При этом искомый ток (напряжение) определяют одним из рассмотренных в курсе ТОЭ1 методов расчета цепей постоянного или переменного тока (тоже получается из дифференциального уравнения, в котором производные по переменной величине приравнены к нулю для постоянного тока или заменены соответствующим образом для переменного тока).

Токи или напряжения, полученные в результате частного решения дифференциального уравнения, для установившегося режима называют установившимися, или принужденными, и обозначают , или , .

Общее решение дифференциального уравнения соответствует свободному режиму работы электрической цепи, т.е. режиму работы цепи при отсутствии внешнего источника электрической энергии.

Найденные в результате общего решения однородного дифференциального уравнения токи и напряжения называют свободными составляющими тока и напряжения переходного процесса (поскольку они не зависят от источников питания) и обозначают , .

Таким образом, искомые параметры представляют собой сумму принужденной и свободной составляющей

и . (1)

Структура свободных составляющих зависит от порядка дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы. Порядок дифференциальных уравнений в свою очередь определяется сложностью рассматриваемой схемы и количеством реактивных элементов (индуктивностей и емкостей) в ней. С порядком дифференциального уравнения непосредственно связана степень характеристического уравнения и, соответственно, количество и тип корней этого уравнения. Последнее обстоятельство является решающим в выборе формы записи свободных составляющих.

Свободный ток (или напряжение) представляется в виде суммы экспоненциальных составляющих:

. (2)

где n – порядок характеристического уравнения;

рk – значение корней характеристического уравнения;

Аk – постоянные интегрирования.

Выражение свободного тока определяется видом корней характеристического уравнения.

• При различных вещественных корнях выражение свободного тока имеет вид:

, (3)

• Если среди корней имеются два кратных корня р=р1=р2 , то составляющая решения, соответствующая этим двум корням, запишется как:

, (4)

• Если имеются три кратных корня р=р1=р2=р3 , то составляющая решения, соответствующая этим корням, имеет вид:

, (5)

• При наличии двух комплексно сопряженных корня р₁₂=-д±jщ , то свободная составляющая для них может быть записана в виде:

, (6)

где А и ш – постоянные интегрирования, заменившие А1 и А2.

Показатели при экспонентах р_n определяются их решения характеристического уравнения.

Наиболее простой способ составления характеристического уравнения цепи состоит в следующем:

• Записывают формулу входного сопротивления цепи в комплексной форме;

• В полученной формуле Z производят замену jщ на р;

• Полученное выражение Z(p) приравнивают нулю.

• Находят корни уравнения Z(p)=0.

Входное сопротивление цепи можно рассматривать относительно любой ветви цепи.

В тех случаях, когда разветвленная цепь имеет лишь один накопитель энергии, удобнее рассматривать формулу входного сопротивления относительно ветви с накопителем энергии.

Если в схеме имеется источник тока, характеристическое сопротивление нельзя рассматривать относительно ветви с источником тока. Его следует рассматривать относительно любой другой ветви схемы, полагая при этом ветвь с источником тока разомкнутой.

Постоянные интегрирования определяют следующим образом:

• В случае цепи первого порядка постоянную интегрирования находят из выражения i(t), рассматриваемого при t=0+:

. (7)

• В случае цепи второго порядка используют уравнения i(0) и i’(0):

или . (8)

Значения i(0) и i’(0) в общем виде можно найти путем решения уравнений, составленных для цепи по законам Кирхгофа, и первых производных этих уравнений, рассматриваемых при t=0+.

Если в ветви имеется ветвь с конденсатором, целесообразно начинать расчет с определения uc.

• В случае цепи высшего порядка приходиться многократно дифференцировать уравнение i(t) и уравнения, составленные по законам Кирхгофа.

В случае, когда электрическая цепь имеет два накопителя энергии электромагнитного поля, каждая физическая величина (ток, напряжение) описывается дифференциальным уравнением второго порядка, которому соответствует характеристическое уравнение второй степени. Последнее имеет два корня, которые могут встречаться в следующих сочетаниях:

• два действительных отрицательных неравных корня;

• пара сопряженных комплексных корней с отрицательными действительными частями;

• действительные отрицательные равные (кратные) корни.

Каждому такому сочетанию соответствует определенный режим перехода схемы из одного установившегося состояния в другое.