Байесовский подход к минимизации риска в многошаговой подготовке принятия решений

В некоторых случаях риск принятия неправильного решения можно снизить ценой дополнительных затрат, в оптимизации которых используется формула Байеса. Например, чтобы установить перспективность нефтяного месторождения (основная гипотеза), необходимо бурить разведочные скважины. Одна успешная скважина не гарантирует успех, равно как и одна неудачная попытка его не исключает. Положительный результат повышает уровень апостериорной вероятности основной гипотезы, но если он недостаточен для принятия положительного решения, можно пробурить еще одну скважину, и еще раз уточнить вероятность гипотезы. Вопрос о том, сколько дорогостоящих попыток нужно сделать, чтобы минимизировать суммарный риск (затрат на разведку и потерь от разработки бедного месторождения) решают на основе байесовского подхода: последовательно снижают первоначальную неопределенность пересчетом апостериорной вероятности основной гипотезы после оценки очередного испытания.

Из формулы Байеса видно, что информативность испытания (разница между апостериорной и априорной вероятностями) тем больше, чем меньше вероятность ложного результата, поэтому минимизацию риска начинают со снижения ошибок испытаний. Например, в испытаниях надежности бронежилета прострелом пулей при одном попадании имеющийся дефект может быть не обнаружен. Надежность выявления дефектов можно повысить, увеличив число выстрелов по одному изделию, но это может привести к другой ошибке – причиной отказа может стать не дефект, а накопление повреждений, тогда забракуют годное изделие. Показатель надежности учитывает результаты предшествующих испытаний согласно формуле (1.5). Но если некоторые из них квалифицированы неправильно, показатель надежности не будет достоверным. Допустим, для данного производства бронежилетов и технологии испытаний характерно соответствие показателей надежности заданным требованиям (гипотеза H₁) с вероятностью P(H₁) = P₁= 0,8, вероятность ошибочно забраковать (событие A) кондиционное изделие P(A/H₁) =  = 0,1, а вероятность обнаружить имеющийся дефект (гипотеза H₀) составляет P(A/H₀) =  = 0,8. Если по результатам испытания изделие признано кондиционным (наступило ), доверительная вероятность оценки возрастет:

= 0,95,

а если изделие признано дефектным, то

.

В первом случае повышение доверительной вероятности для оценки надежности изделия с 0,8 до 0,95 может служить основанием для доверия к этой оценке. После отказа для восстановления степени достоверности оценки (она снизилась до 0,33) проводят дополнительные испытания. Убедимся, что потребуется два дополнительных успешных испытания, чтобы апостериорная вероятность была восстановлена на требуемом уровне:

.

Контрольные вопросы.

1. При бросании правильной игральной кости выпадения не менее пяти очков можно ожидать в двух случаях из шести. Верно ли, что в двух таких опытах сумма очков составит не менее десяти с вероятностью 3/12? Каков правильный ответ?

2. Как можно опытным путем оценить вероятность случайного события?

3. Три события имеют вероятности 0,3, 0,4 и 0,5. Можно ли утверждать, что эти события несовместны?

4. Три события имеют вероятности 0,2, 0,3 и 0,4. Можно ли утверждать, что они образуют полную группу?

5. Зависимы ли события A и C = A + B?

6. Цель содержит n УА и накрыта осколочным полем. События A_i – попадание хотя бы одного осколка в i-й УА, i = 1, 2, …, n. Зависимы ли эти события?

7. Выразите вероятность суммы трех независимых событий через их вероятности.

8. Произведено три независимых выстрела. Вероятность попадания в каждом из них равна 0,4. Для поражения цели необходимо и достаточно двух попаданий. Какова вероятность поражения цели? Какова вероятность этого события, если в каждом попадании независимо от других цель поражается с вероятностью 0,3?

9. При проведении N = 100 испытаний для построения условного закона поражения цели факт поражения регистрировался в первом попадании 3 раза, во втором – 8 раз, в следующих попаданиях, соответственно, 14, 23, 30, 16, 5, 0, 1 раз. Вычислите оценки вероятностей поражения в 1-м, 2-м и т.д. попаданиях. Постройте условный закон поражения по этим данным. Объясните действие следующей команды MATLAB, результат выполнения которой показан на рис 1.4:

>> P=[3 8 14 23 30 16 5 0 1]; sum(P), plot(0:9, [0,cumsum(P)]/100)

ans = 100

Рис. 1.4.

10. Программа Events(P, N) (Листинг 1.2) моделирует несовместные события в статистических испытаниях объема N. Вероятности событий заданы массивом P (сумма его элементов равна 1). Объясните смысл и результат следующей команды:

>> N=100000;P=[0.3 0.2 0.5];A=Events(P,N); p=sum(A)/N

p = 0.3013 0.1985 0.5002

11. Случайные события A и B зависимы: P(A) = 0,4, P(B) = 0,6, P(B/A) = 0,25. Объясните моделирование этих событий с помощью следующих команд (события AB, B, A, несовместны!):

>> PA=0.4; PB=0.6; PAB=PA*0.25;P=[PAB PB-PAB PA-PAB 1-PAB];

>> N=100000; A= Events (P,N);C=[A(:,1)|A(:,3) A(:,1)|A(:,2)];sum(C)/N, pAB=sum(C(:,1).*C(:,2))/N

ans = 0.4000 0.6032 pAB = 0.1016

12. Чем отличаются априорная и апостериорная вероятности гипотез?

13. Что можно сказать о степени отличия апостериорной вероятности гипотезы H₁ с учетом факта наступления события A, если:

а) с гипотезой H₁ событие A наступает достоверно;

б) события A и H₁ независимы;

б) события A и H₁ несовместны.

14. Для вычисления числа сочетаний в программе Sampling не используется библиотечная функция factorial, так как это сильно ограничило бы допустимые диапазоны аргументов. Объясните результаты следующих команд:

>> for i=10:200 if isinf(factorial(i)) break, end, end, i

i = 171

>> sum( Sampling( 10000,1000,100 ))

ans = 1.0000

ПРИЛОЖЕНИЕ

Листинг 1.1. Функция Sampling для вычисления вероятностей возможного состава случайной выборки

% Вычисление вероятности того, что в случайной выборке

% L из N ровно k (вектор) взяты из R помеченных (дефектных)

function out = Sampling( N,R,L,k )

if nargin<4 k=[0:L]; end

out=zeros(size(k));

for i = 1:length(k)

if N>=R & L>=k(i)

out(i)=CombiCount(R,k(i))*CombiCount(N-R,L-k(i))/CombiCount(N,L);

end

end

%

function out=CombiCount(n,m)

out = 0; if n < m | m<0 return, end

if m>n/2 m=n-m; end

out = prod(n-m+1:n)/prod(1:m); end

Листинг 1.2. Функция моделирования несовместных событий с заданными вероятностями P в статистических испытаниях объема N:

% Вычисление индикаторов событий, заданных вероятностями P (вектор),

% в N испытаниях

function A=Events(P,N)

R=cumsum(P);

I=(repmat(R,N,1)-repmat(rand(N,1),1,length(P))) > 0;

A=I-[zeros(N,1),I(:,1:end-1)];

1 Величина X_n сходится по вероятности к пределу a, если вероятность события (|X_n – a| < ) стремится к единице при сколь угодно малом .