Пример 1.
Для пространственного стержня (рис. 1, а) определить
значения и направления внутренних усилий в сечениях I
—I и II—II.
Рис.1, а.
1
Решение.
Для определения значений и направлений внутренних усилий в сечениях I—I и II—II применим метод сечений.
Сечение I—I. Рассечем пространственный стержень в сечении I—I плоскостью, которая перпендикулярна оси стержня ВС (рис. 1, б). Одну часть стержня, например содержащую заделку, отбросим и действие ее на
оставшуюся часть заменим шестью внутренними усилиями N, Qx, Qy и Mz, Мх, My, приложенными в сечении I—I .
2
Рис.1, б.
3
Выберем прямоугольную систему осей х, у, z, совместив начало координат с центром тяжести сечения I —I . Ось z направим вдоль оси рассеченного стержня ВС (в сторону внешней нормали сечения), а оси х и у расположим
в плоскости его поперечного сечения, как показано на рис. 1,б. Такой выбор осей является обязательным.
4
Внутренние усилия Qx, Qy и N направим вдоль
соответствующих положительных осей х, у, z, внутренние усилия Мх, Му и Мz — по ходу часовой стрелки при взгляде
на оставшуюся часть со стороны положительного направления тех же осей. Такие направления внутренних силовых факторов будем считать положительными.
Часть стержня, нагруженная внешними силами F, 2F и усилиями, приложенными в сечении /—/, находится в равновесии (рис. 1, б).
5
Для этой части стержня составим шесть уравнений равновесия, из решения которых определим внутренние усилия в сечении /—/:
ост.ч ост.ч . ост.ч
= 0; Qx= 0; = 0, Qy – F = 0, Qy = F; = 0, N + 2F=0,
ост.ч. ост.ч.
N = - 2F; = 0, Mx- F2a=0, Mx=2Fa; =0, My=0;
ост.ч.
= 0, Mz + Fa =0, Mz = - Fa.
Таким образом, в сечении I—I действует четыре внутренних усилия (Qx=0 и Му =0), причем два из них — N и
Mz— в направлении, противоположном принятому (на рис.61,
б действительные направления их показаны пунктиром).
Сечение II—II. Рассечем стержень в сечении II—II плоскостью, перпендикулярной оси стержня CD. Часть стержня, содержащую жесткое закрепление, отбросим. Выберем систему координат х, у, z и действие отброшенной части на оставшуюся заменим шестью внутренними усилиями, как показано на рис. 1, в.
Рис.1, в.
7
Эта часть стержня находится в равновесии; составим для нее уравнения равновесия:
ост .ч. |
ост.ч. |
ост.ч. |
|
= 0, QX + 2F = 0, Qx = - 2F; = 0, Qy = 0; = 0, |
N – F = 0, N |
||
= F; |
|
|
|
ост.ч. |
ост.ч. |
|
|
= 0, Mx + Fa = 0, Mx = - Fa; |
= 0, |
|
|
|
ост.ч. |
|
|
My - F2a - 2Fa = 0, My = 4Fa; |
= 0, Mz = 0. |
|
|
Следовательно, в сечении II—II возникает четыре внутренних усилия (Qy = 0, Mz = 0), причем два из них — Qx и
Мх — направлены в обратную сторону (рис. 1, в).
8