Задание № 123.
1.Пользуясь схемой Горнера, разложить полином f(x) по степеням х х0:
a) f(x) = x4 8x3 + 24x2 50x + 90,
б) f(x) = 3x5 + x4 19x2 13x 10, x0 = 2.
2.Отделить кратные множители полиномов:
-
f(x)=x6 15x4 + 8x3 + 51x2 72x + 27,
-
f(x) = x6 6x4 20x2 15x 4.
3.Построить полином наименьшей степени по данной таблице
значений:
x 1 9/4 4 25/4
f(x) 1 3/2 2 5/2.
Ответы.
1a. (x 2)4 18(x 2) + 38.
1б. f(x) = (x 2)(3x4 + 7x3 + 14x2 + 9x + 5), f(x0) = 0.
2а. (x 1)3 ( x + 3)2(x 3).
2б. (x + 1)4(x 2)2.
3.
f(x) = 1 +
(x
1)
(x
1)(4x
9) +
(x
1)(4x
9)(x
4).
Задание № 13 5.
1 Построить полином наименьшей степени с действительными коэффициентами, с корнями:
а) 1, 2, 3, 4,
б) 23i (тройной корень).
2. Найти соотношение между коэффициентами уравнения
х4 + ах3 + bх2 + сх + d = 0 ,при выполнении которого произведение двух корней равно произведению двух других корней.
3. Найти х так, чтобы f(х) < f(0) , где f(х) = х5 3х3 + 4.
4. Определить соотношение между коэффициентами уравнения х3 + pх + q, при выполнении которого х3 = х1-1 + х2-1.
Ответы.
1a. x4 + 4x3 7x2 22x + 24.
1б. (x2 4x + 13x)2 = x6 12x5 + 87x4 376x3 + 113x2 2028x + 2197.
2. ad = c.
3.
x = i,
0 <
< 
.
4. q3 + pq + q = 0 (q2 + p + 1 = 0).
Задание № 141.
1.Составить ряд Штурма и отделить корни многочленов:
а) х3 3х 1; б) х4 + 4х3 12х + 9; в) х4 2х3 4х2 + 5х + 5.
2.Составить ряд Штурма для вещественного многочлена х5 5ах3 + 5ах2 + 2b. В зависимости от знака числа а5 b2 найти число вещественных корней многочлена.
3.Ограничить сверху и снизу вещественные корни многочлена
х4 4х3 + 7х2 8х + 3.
4.Определить число вещественных корней уравнения х3 + pх + q = 0 при вещественных p и q (воспользоваться теоремой Штурма).
5.Вычислить с точностью до 0,0001 корень уравнения
х3 3х2 13х 7, содержащийся в промежутке (1, 0).
6.Вычислить с точностью до 0,0001 вещественные корни уравнения х3 3х2 х + 2 = 0.
Ответы.
1а. 3 вещ. корня в интервалах: (2, 1), (1, 0), (1, 2).
1б. Вещественных корней нет.
1в. f = x4 2x3 4x2 + 5x + 5, f1 = 4x3 6x2 8x + 5x, f2 = 22x2 22x 45, f3 = 2x 1, f4 = 1. 4 вещ. корня в интервалах: (1, 2), (2, 3), (1, 0), (2, 1).
2. При a5 b2 > 0 все корни вещ., при a5 b2 < 0 один вещ. корень.
3. 0 < xi <3.
4. Ряд Штурма: x3 + px + q, 3x2 + p, 2px 3q, 4p3 27q2. Если
4p3 27q2 > 0, то p < 0, все старшие коэф. полиномов Штурма > 0 и все корни x3 + px + q вещ. Если 4p3 27q2 < 0, то независимо от знака р ряд Штурма имеет при две перемены знака, при + одну. В этом случае
x3 + px + q имеет один вещ. корень.
5. 0,6618. 6. 3,1149.