Занятие 1
Множества. Способы задания множеств: перечисление, с помощью характеристического свойства элементов. Равенство и включение множеств. Множество всех подмножеств данного множества. Операции над множествами: объединение, разность, пересечение, дополнение. Диаграммы Эйлера –Венна.
Занятие 2
Декартово (прямое) произведение множеств. Отображение множеств. Прямое и обратное отображения. Однозначное и взаимно однозначное отображения. Понятие функции.
Занятие 3
Декартова (прямоугольная) система координат на плоскости. Полярная система координат. Координаты точки в декартовой и полярной системах координат. Переход от одной системы координат к другой. Расстояние между двумя точками на плоскости.
Занятие 4
Деление отрезка в заданном отношении. Координаты середины отрезка. Определение площади треугольника по известным координатам его вершин.
Занятие 5
Различные виды уравнения прямой : уравнение прямой с угловым коэффициентом, общее уравнение прямой, уравнение прямой в отрезках на осях, нормальное уравнение прямой. Построение прямой по её уравнению.
Занятие 6
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, через две данные точки. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Определение точки пересечения двух прямых.
Занятие 7
Расстояние от данной точки до данной прямой. Уравнение биссектрисы угла между двумя прямыми. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения данных прямых.
Занятие 8
Составление уравнения кривой по её геометрическим свойствам. Кривые второго порядка : окружность, эллипс, гипербола, парабола.
Занятие 9
Декартова система координат в пространстве. Векторы. Координаты вектора на плоскости и в пространстве. Операции над векторами. Скалярное произведение векторов и его свойства. Угол между двумя векторами. Условия параллельности и перпендикулярности двух векторов.
Занятие 10
Основные задачи на плоскость : общее уравнение плоскости, уравнение плоскости в нормальной форме, уравнение плоскости в отрезках на осях, угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, расстояние от точки до плоскости.
Занятие 11
Основные задачи на прямую в пространстве : канонические, параметрические и общие уравнения прямой ; условия параллельности и перпендикулярности двух прямых ; угол между двумя прямыми ; уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Занятие 12
Задачи на прямую и плоскость : угол между прямой и плоскостью, условия параллельности перпендикулярности прямой и плоскости ; уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую.
Занятие 13
Контрольная работа по аналитической геометрии ( на плоскости и в пространстве ).
Занятие 14
Последовательности : общий член последовательности, вычисление членов последовательности, нахождение общего члена по элементам последовательности, монотонные последовательности, ограниченные и неограниченные последовательности.
Занятие 15
Предел последовательности. Предел суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей. Вычисление пределов с использованием теорем о сходящихся последовательностях.
Занятие 16
Вычисление
пределов последовательностей типа
Пределы с числом е .
Занятие 17
Контрольная работа по вычислению пределов последовательностей.
Занятие 18
Предел
функции : вычисление простейших пределов
; пределы
при
;
ликвидация
неопределённостей типа
;
пределы,
связанные с числом е.
Занятие 19
Односторонние пределы. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация.
Занятие 20
Приращение функции. Непосредственное вычисление производной, исходя из её определения. Вычисление производных в простейших случаях ( с использованием таблицы производных и правил дифференцирования ). Производные сложной и обратной функций.
Занятие 21
Дифференцирование тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование неявных функций и функций, заданных параметрически.
Занятие 22
Дифференциал.
Производные высших порядков. Формула
Лейбница. Раскрытие неопределённостей
типа
(
правило Лопиталя ).
Занятие 23
Возрастание и убывание функций. Нахождение максимума и минимума функций. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Занятие 24
Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба графика функции. Асимптоты.
Занятие 25
Контрольная работа по исследованию функций и построению их графиков.
Занятие 26
Первообразная функция и неопределённый интеграл. Непосредственное интегрирование. Замена переменной в неопределённом интеграле ( методы подстановки ). Интегрирование по частям.
Занятие 27
Определённый интеграл. Формула Ньютона – Лейбница. Несобственные интегралы 1 – го и 2 – го типов. Вычисление площадей плоских фигур. Занятие 28
Контрольная работа по вычислению интегралов (неопределённый, определённый, несобственный ).
Занятие
29
Функции многих независимых переменных.
Область определения. Предел и
непрерывность.
Частные производные. Полное приращение
и полный дифференциал первого порядка
функции нескольких переменных.
Занятие
30
Дифференцирование сложной функции
нескольких независимых переменных.
Производные
и дифференциалы высших порядков. Линии
и поверхности уровня. Производная
функции по заданному направлению.
Градиент функции.
Занятие
31
Экстремум функции нескольких независимых
переменных. Наибольшее и наименьшее
значения функции двух независимых
переменных. Необходимые и достаточные
условия экстремума.
Занятие
32
Дифференциальные уравнения первого
порядка. Уравнения с разделяющимися
переменными. Особые решения уравнения
с разделяющимися переменными. Линейные
дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Занятие
33
Дифференциальные уравнения высших
порядков, допускающие понижение порядка.
Уравнения, содержащие только производную
порядка n
и независимую
переменную :
.
Уравнения, не содержащие искомой функции:
.
Уравнения, не содержащие независимой
переменной :
.
Занятие
34
Линейные дифференциальные уравнения
высших порядков. Линейные однородные
уравнения с переменными коэффициентами.
Линейные однородные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами.
Занятие
35
Числовые ряды. Частичные суммы ряда.
Сходимость ряда. Необходимый признак
сходимости. Критерий Коши
сходимости
ряда. Ряды с положительными членами.
Признаки сравнения. Признак Д'Аламбера
и признак Коши
сходимости
рядов с положительными членами.
Занятие
36
Сходимость знакопеременных рядов.
Абсолютная и условная сходимость.
Признаки Лейбница
и Абеля.
Приближённое вычисление суммы ряда.
Занятие 37
Системы двух линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Геометрическая интерпретация решений. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
Занятие 38
Матрицы. Операции над матрицами. Метод Гаусса в матричной форме.
Занятие 39
Определители и их свойства. Вычисление определителей приведением их к треугольному виду. Ранг матрицы и его вычисление. Вырожденные и невырожденные матрицы.
Занятие 40
Вычисление обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы.
Занятие 41
Контрольная работа по теории матриц и решению систем линейных уравнений.
Литература
-
Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М., Наука , 1972. 2. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича. М., Наука. 1981. 3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М., Высшая школа. 1986 ( в 2 – х томах ). 4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М., Наука. 1986. 5. Шмелёв П.А. Теория рядов в задачах и упражнениях. М., Высшая школа. 1983.