Содержание учебной дисциплины Программа

курса “ Математика “

1. Элементы теории множеств.

Понятие множества, терминология, обозначения, примеры, способы задания множеств, отношения между множествами (равенство, включение) и некото- рые специальные множества (пустое множество, универсальное множество). Операции над множествами и их иллюстрация с помощью диаграмм Эйлера- Венна. Декартово (прямое) произведение множеств. Понятие отображения. Прямое и обратное отображения. Однозначное и взаимнооднозначное отоб- ражения. Примеры отображений.

2. Аналитическая геометрия на плоскости:

2.1. Декартова (прямоугольная) система координат.

Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Полярная система координат на плоскости и её связь с декартовой системой координат.

2. 2.2. Линии 1-го порядка на плоскости.

2.2.1.Общее уравнение прямой.

2. 2.2.2.Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

2.2.3.Уравнение прямой, проходящей через заданную точку, с заданным

угловым коэффициентом.

2.2.4.Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

2. 2.2.5.Уравнение прямой “ в отрезках “.

3. Линии 2-го порядка на плоскости.

2.3.1.Общее уравнение линии 2-го порядка.

2. 2.3.2.Уравнение окружности и его связь с общим уравнением.

2.3.3.Эллипс и его каноническое уравнение ( с выводом ).

2. 2.3.4 Гипербола и её каноническое уравнение.

2.3.5. Парабола и её каноническое уравнение.

2. 3. Элементы векторной алгебры:

Векторы и их свойства : определение, длина вектора, равенство векторов,

проекция вектора на ось, координаты вектора, выражение длины вектора че-

рез его координаты, линейные операции над векторами и их свойства. Ска-

лярное произведение векторов, его выражение через координаты вектора,

свойства скалярного произведения.

2. 4. Аналитическая геометрия в пространстве:

Уравнение поверхности и линии в пространстве. Уравнение плоскости ( с выводом ).

Уравнения прямой в пространстве : общие уравнения, канонические уравнения, параметрические уравнения.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

5. Основы математического анализа :

2. 5.1. Числовые множества на вещественной прямой.

Типы множеств ( отрезки, интервалы и т.д. ). Ограниченные множества

(сверху, снизу, сверху и снизу ). Примеры ограниченных множеств.

Понятия инфимума и супремума множества ( точной нижней и точной

верхней границ множества ). Характеристическое свойство инфимума и

супремума. Существование инфимума и супремума.

5.2. Предельные точки числовых множеств.

Понятие окрестности и  - окрестности точки, односторонние окрестности,примеры окрестностей. Определение предельной точки множества, производное множество, изолированные точки множества. Примеры предельных и изолированных точек. Характеристическое свойство предельных точек.

5.3. Числовые последовательности.

Понятие числовой последовательности, обозначения, терминология. Способы задания последовательностей. Графическое изображение

последовательностей. Ограниченные последовательности : опреде-

ления, примеры. Понятие предельной точки последовательности, при –

меры предельных точек. Теорема Больцано-Вейерштрасса ( о сущест-

вовании предельной точки последовательности ). Нижний и верхний

пределы последовательности.

2. 5.4. Предел последовательности. Определение сходящейся последовательности и её предела. Критерий

3. сходимости последовательности и его геометрическая интерпретация.

4. Расходящиеся последовательности : определение, примеры

5. расходящихся последовательостей. Бесконечно малые

6. последовательности и их связь с пределом. Свойства сходящихся

7. последовательностей. Монотонные последовательности : определения,

8. теорема о сходимости монотонной и ограниченной последователь-

9. ности. Число Эйлера (число е ) : определение с помощью предела

10. последовательности, приближённое значение числа е.

11. 5.5. Основы понятия функции. Определение функции, терминология, обозначения, примеры функций.

12. Способы задания функций. Некоторые важные классы функций :

13. монотонные функции, чётные и нечётные функции, периодические

14. функции. Понятие обратной функции, её нахождение в простейших

15. случаях, график обратной функции, существование обратной функции.

16. Понятие сложной функции, анализ и синтез сложной функции, примеры

17. сложных функций.

18. 5.6.Предел функции (начальные понятия). Понятие “проколотой” окрестности точки. Определение предела

19. функции ( на “ языке “ последовательностей или на “ языке  “ ).

20. Односторонние пределы и их связь с пределом функции. Основные

21. теоремы о пределах. Предел ограниченной функции : ограниченность

22. функции на множестве ( сверху, снизу, двусторонняя ограниченность ),

23. теорема о существовании предела монотонной и ограниченной функции.

24. Предел функции при x, стремящемся к  или . Несобственные

25. предельные значения.

26. 5.7. Непрерывные функции (начальные сведения ). Определение непрерывности функции в точке. Односторонняя

27. непрерывность и её связь с непрерывностью. Непрерывность функции на

28. множестве ( в частности, на интервале и отрезке ). Разрывные функции.

29. Классификация точек разрыва. Примеры. Общие свойства непрерывных

30. функций : сохранение знака непрерывной функции, арифметические

31. операции над непрерывными функциями, непрерывность сложно

32. ограниченность функции, непрерывной на отрезке ( 1 – я теорема

33. Вейерштрасса ); достижение функцией, непрерывной на отрезке, своих точных граней (минимума и максимума ) – 2-я теорема

34. Вейерштрасса; существование нуля непрерывной функции ( теорема

35. Больцано ); теорема о промежуточном значении ( теорема Коши ).