экзамен / 45

45 Режимы течения жидкостей. Уравнения механики жидкости.

Исследование вопроса о механизме движения приводит к заключению о существовании двух различных, резко отличающихся друг от друга режимов движения.

Движение жидкости, наблюдаемое при малых скоростях, при котором отдельные струйки жидкости движутся параллельно друг другу и оси потока, называют ламинарным или струйчатым движением (режимом). Ламинарное движение можно рассматривать как движение отдельных слоев жидкости, происходящее без перемешивания частиц.

Второй вид движения жидкости, которое наблюдается при больших скоростях, называется турбулентным движением (режимом). В этом случае в движении жидкости нет видимой закономерности. Отдельные частицы перемешиваются между собой и движутся по причудливым все время изменяющимся траекториям сложной формы. Поэтому такое движение иногда называют беспорядочным. Несмотря на кажущуюся, на первый взгляд беспорядочность движения, и при турбулентном режиме имеют место определенные закономерности.

Рейнольдс установил, что основными факторами, определяющими характер режима, являются: средняя скорость движения жидкости , диаметр трубопровода d, плотность жидкости , абсолютная вязкость жидкости . При этом, чем больше размеры поперечного сечения и плотности жидкости и чем меньше ее вязкость, тем легче при увеличении скорости осуществить турбулентный режим.

Для характеристики режима движения жидкости Рейнольдсом был введен безразмерный параметр Re, учитывающий влияние перечисленных выше параметров, называемый числом (или критерием) Рейнольдса, Так как отношение , где - кинематическая вязкость жидкости, формулу можно записать в виде

Границы существования того или иного режима движения жидкости определяются двумя критическими значениями числа Рейнольдса: нижним критическим числом Re_кр.н. и верхним критическим числом Re_кр.в; значения скорости, соответствующие этим значениям Re, также называются критическими. При значении числа Рейнольдса Re<Re_кр.в возможен только ламинарный, а при Re>Re_кр.н - только турбулентный режимы; при Re_кр.н<Re<Re_кр.в наблюдается неустойчивое состояние потока. Таким образом, для определения характера режима необходимо в каждом отдельном случае вычислить число Рейнольдса и сопоставить его с критическими значениями.

В опытах Рейнольдса значения Re_кр были следующими: Re_кр.н=2000, Re_кр.в=12000. Многочисленные эксперименты, проведенные в более позднее время, показали, однако, что критические числа Рейнольдса не являются вполне постоянной величиной и что в действительности при известных условиях неустойчивая зона может оказаться значительно шире. В настоящее время при практических расчетах принято исходить только из одного критического значения числа Рейнольдса, принимаемого Re_кр=2300, считая, что при Re<2300 всегда имеет место ламинарный, а при Re>2300 - всегда турбулентный режимы. Могут быть получены значения Re_кр также для сечения любой формы. Имея в виду, что при круговом сечении гидравлический радиус , подставим в формулу для Re вместо d его значение, равное .Тогда получим формулу для числа Рейнольдса, выраженного через гидравлический радиус, откуда Принимая для критического значения числа Рейнольдса независимо от формы живого сечения величину Re_кр=2300, находим, что для сечения любой формы критерием для суждения о характере режима движения является величина, равная Таким образом, если режим ламинарный, режим турбулентный. На практике в большинстве случаев (движение воды в трубах, каналах, реках)приходится иметь дело с турбулентным режимом. Ламинарный режим встречается реже. Он наблюдается, например, при движении в трубах очень вязких жидкостей, что иногда имеет место в нефтепроводах, при движении жидкостей в очень узких (капиллярных) трубках и в порах естественных грунтов (нефти - в нефтеносных и воды - в водоносных пластах).

Физическими свойствами жидкостей, лежащими в основе построения теоретических моделей, является непрерывность (cплошность) и легкая подвижность (текучесть). Под сплошностью понимается непрерывное распределение в пространстве физических параметров, характеризующих жидкость, а под текучестью - слабое противодействие жидкостей даже сколь угодно малым силам, вызывающим относительное скольжение частиц жидкости. В то же время большинство рабочих жидкостей оказывает значительное сопротивление сжатию, и они практически не изменяют свой объем под действием всесторонних сил давления, нормальных к поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем. Для описания движения несжимаемой жидкости, обладающей сплошностью и текучестью, а также вязкостью, характеризующей внутреннее трение в жидкости, пользуются уравнением неразрывности и уравнениями Навье-Стокса, которые являются следствием применения законов сохранения массы и количества движения к элементарному объему жидкости. Решение этих уравнений в общем случае сложно и может быть доведено до конца лишь в отдельных частных случаях и при следующих упрощающих предположениях: ламинарное течение, введение начальных и граничных условий, рассмотрение протекания процессов в стационарных режимах.

Исходя из уравнений Стокса и уравнения неразрывности получим, что если провести нормальные к оси трубы сечения, то во всех таких сечениях распределения скоростей одинаковы, а давление меняется только от сечения к сечению, сохраняя в данном сечении одно значение (установившееся движение). При установившемся движении вязкой жидкости по цилиндрической трубе перепад давления, умноженный на площадь сечения играет роль движущей силы, уравновешиваемой силами сопротивлений трения жидкости о стенки трубы. Сами токи в среде и вызываемые ими искажения магнитного поля определяются уравнениями Максвелла. Таким образом, уравнения гидродинамики и электродинамики оказываются взаимосвязанными.

Рассмотрим особенности движения жидкости в трубах круглого сечения.

Существуют два вида движения жидкости: упорядоченное или ламинарное движение, при котором отдельные слои жидкости скользят друг относительно друга, не смешиваясь между собой, и неупорядоченное, турбулентное движение, когда частицы жидкости движутся по сложным, все время изменяющимся траекториям, и в жидкости происходит интенсивное перемешивание. / /

Известно, что вязкие жидкости (масла) движутся большей частью упорядоченно, а маловязкие жидкости (вода) почти всегда неупорядоченно. Основная особенность турбулентного движения жидкости заключается в наличии поперечных к направлению движения составляющих скорости, накладывающихся на основную скорость в продольном направлении.

Переход от ламинарного течения к турбулентному происходит при определенной скорости (так называемая критическая скорость), которая для труб разных диаметров оказывается различной, возрастающей с увеличением вязкости и уменьшающейся с уменьшением диаметра трубы. / /

Установлены условия, при которых возможны существование ламинарного и турбулентного режима движения жидкости и переход от одного режима к другому. Состояние (режим) потока жидкости в трубе зависит от величины безразмерного числа, которое учитывает основные факторы, определяющие это движение: среднюю скорость υ, диаметр трубы d, плотность жидкости ρ₁ и ее абсолютную вязкость λ.

, (2.1)

где ν – кинематический коэффициент вязкости, м²/с

Величина d в числе Рейнольдса может быть заменена любым линейным параметром, связанным с условиями течения или обтекания (диаметр трубы, диаметр падающего в жидкости шара, длина обтекаемой жидкостью пластинки). Значение числа Рейнольдса, при котором происходит переход от ламинарного движения к турбулентному, называют критическим числом Рейнольдса и обозначают Re_кp. Его величина зависит от условий входа в трубу, шероховатости ее стенок, отсутствия или наличия первоначальных возмущений в жидкости, конвекционных токов и др.

При Re > Re_кp режим движения является турбулентным, при Re < Re_кp — ламинарным. Наиболее часто в расчетах принимают для критического числа Рейнольдса значение Re_кp = 2000, отвечающее переходу движения жидкости из турбулентного в ламинарное; при переходе движения из ламинарного в турбулентное критическое число Рейнольдса имеет большую величину (для хорошо закругленного плавного входа оно может быть доведено до 20 000). Исследования показывают, что критическое значение числа Рейнольдса увеличивается в сужающихся трубах и уменьшается в расширяющихся. Это объясняется тем, что при ускорении движения частиц жидкости в сужающихся трубах их тенденция к поперечному перемешиванию уменьшается, а при замедленном течении в расширяющихся трубах усиливается.

По критическому значению числа Рейнольдса можно найти критическую скорость, такую, ниже которой всегда будет иметь место ламинарное движение жидкости:

(2.2)

Ламинарный режим для воды и воздуха возможен лишь при их движении в трубах очень малого диаметра. Более вязкие жидкости, например, масла, могут двигаться ламинарно даже в трубах значительного диаметра.

Число Рейнольдса может рассматриваться как мера отношения кинетической энергии рассматриваемого элемента жидкости к работе сил вязкого трения. Действительно, кинетическая энергия элемента жидкости зависит от его объема и пропорциональна ρ₁ υ²l³ , где l — линейные размеры элемента жидкости. Работа сил вязкого трения зависит от размеров поверхности рассматриваемого элемента жидкости и пропорциональна λ l² υ. Отношение кинетической энергии элемента жидкости к работе сил вязкости будет равно:

(2.3)

Таким образом, число Рейнольдса характеризует относительную роль сил вязкости: чем оно меньше, тем большую роль играют силы вязкости в движении жидкости. Чем больше число Рейнольдса, тем больше влияние сил инерции в потоке по сравнению с силами вязкости. Опыты показывают, что одновременно с переходом ламинарного движения в турбулентное изменяется характер распределения скоростей по сечению трубы, а также характер гидравлических сопротивлений. / / На рис. 2.1а изображено распределение скоростей по сечению при ламинарном движении жидкости в трубе, имеющее параболический характер: непосредственно у стенок скорости равны нулю, а при удалении от них непрерывно и плавно возрастают, достигая максимума на оси трубы. На рис. 2.1б представлено распределение скоростей при турбулентном движении жидкости в трубе. При турбулентном движении закон распределения скоростей сложнее: в пределах большей части поперечного сечения скорости лишь незначительно меньше максимального значения (на оси), но вблизи стенок величина скорости резко падает.

а) б)

Рис. 2.1 – Распределение скоростей при ламинарном (а) и турбулентном (б)

движении жидкости

Более равномерное распределение скоростей по сечению при турбулентном движении объясняется наличием турбулентного перемешивания, осуществляемого поперечными составляющими скоростей, благодаря чему частицы с большими скоростями в центре потока и с меньшими скоростями на его периферии, непрерывно сталкиваясь, выравнивают свои скорости. У стенки турбулентное перемешивание парализуется наличием твердых границ, и поэтому там наблюдается значительно более быстрое падение скорости. В результате, ламинарный и турбулентный режим отличаются не только характером движения частиц (наличием поперечных скоростей при турбулентном движении), но и особенностями распределения скоростей по сечению и характером зависимости между потерями напора и скоростью (при ламинарном движении потери напора пропорциональны скорости в первой степени, а при турбулентном — скорости в степени, большей единицы). / /

Основные соотношения,

1 Уравнение неразрывности (сплошности). Выражает закон сохранения массы для любого объема движущейся жидкости. В переменных Эйлера уравнение имеет вид:

, (2.4)

где ρ₁ – плотность жидкости, кг/м³;

υ – ее скорость в данной точке, м/с;

υ_x, υ_y, υ_z (u, υ, ω) – проекции скорости на координатные оси.

Для несжимаемой жидкости (ρ = const) уравнение (2.4) примет вид:

или (2.5)

Для установившегося одномерного течения в трубе с площадью поперечного сечения S уравнение неразрывности дает закон постоянства расхода ρ₁ S υ = const

Распределение составляющих скорости показано на рис. 2.2.

Рис. 2.2 – Распределение скоростей в системе координат (х, y, z) при ламинарном движении

2 Уравнения Навье-Стокса. Описывают движение вязких сжимаемых жидкостей.

,

где F – напряженность поля массовых сил;

р – давление, Па.

Уравнения Навье-Стокса в проекциях на оси координат:

, (2.6)

где - проекции объемной (массовой) силы;

η – динамический коэффициент вязкости, (Н·с)/м².

Система уравнений (2.6) Навье-Стокса незамкнута, так как содержит шесть неизвестных: υ_x, υ_y, υ_z, р, ρ₁ и η. Уравнением, связывающим эти неизвестные, является уравнение неразрывности (2.5).

Для несжимаемой жидкости (ρ = const) в большинстве случаев вязкость можно считать постоянной, что позволяет упростить уравнения (2.6). После преобразований, учитывая, что , получаем

, (2.7)

где ν – кинематический коэффициент вязкости, равный η/ρ₁, м²/с.

Правые части уравнений представляют собой отнесенные к единице массы произведения массы на ускорения, а левые - сумму отнесенных к единице массы сил, в числе которых массовая сила , сила давления, выраженная по формуле (2.8), и сила внутреннего трения по формуле (9):

(2.8)

(2.9)

Если раскрыть полные ускорения , выделив в них локальную и конвективную части, то получим развернутую форму уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости:

(2.10)

Вместе с уравнением неразрывности уравнения (2.7) образуют замкнутую систему для определения функций υ_x, υ_y, υ_z и р.