Лабораторная работа №1 Численное интегрирование

а) Пусть отрезок интегрирования [a, b] разбит на n частей с шагом h=(b–a)/n.

Тогда (формула левых прямоугольников); (7.11)

(формула правых прямоугольников); (7.12)

(формула средних прямоугольников), (7.13)

где (i= 0, 1, 2,…,n).

Остаточные члены этих формул соответственно равны

; (7.14)

; (7.15)

, (7.16)

где .

б) Формула Ньютона – Котеса

(7.17)

где

Коэффициенты определены заранее и могут быть взяты из таблицы (табл.44).

Таблица 44

n
1 2 3 4 5 6	1 1 1 7 19 41	1 4 3 32 75 216	1 3 12 50 27	1 32 50 272	7 75 27	19 216	41	2 6 8 90 288 840

в) Формула трапеций имеет вид

(7.18)

где причём

, a   b. (7.19)

г) Формула Симпсона (число n – обязательно чётное)

(7.20)

причём

, a   b. (7.21)

д) Формула Гаусса

(7.22)

где (7.23)

Значения t_i и C_i берутся из таблицы (табл.45)

Таблица 45

n
1		С1 = 2,000000
2		С1 =С2 =1,000000
3
4

е) Экстраполяция по Ричардсу

Пусть и – два приближённых значения , найденных по одной и той же формуле при n₁ и n₂ (n₂  n₁). Тогда более точное значение этого интеграла можно найти по формуле:

(7.24)

где m  порядок остаточного члена выбранной формулы (например, для формулы трапеции m = 2, для формулы Симпсона m = 4).