Дослідження загального рівняння

Загальне рівняння називається повним, якщо всі його коефіцієнти А, В, С відмінні від нуля. Якщо хоча б один з коефіцієнтів дорівнює нулю, рівняння називається неповним.

Розглянемо всі можливі види неповних рівнянь:

Ax+By-Ax₀-By₀=0, Ax₀-By₀=c

Ax+By+ c=0 (2)- загальне рівняння прямої на площині, де А,В- координати нормального вектора до прямої, с-вільний член, х,у- змінні.

3. Дослідження загального рівняння.

1. Якщо в рівнянні (2) с=0, а і в≠0, то пряма проходить через початок координат.

2. Якщо А=0, в і с ≠0, то пряма l ║осі 0Х.

3. Якщо А=0, с=0, то і у=0 – рівняння осі 0Х.

4. Якщо В=0, то пряма l ║осі 0Y.

5. Якщо В=0, с=0, то і x=0 – рівняння осі 0Y.

4. Рівняння прямої через напрямний вектор і точку.

Любий вектор ║до прямої називається – напрямним .

Знайдемо рівняння прямої що проходить через т.M₀ (x₀,y₀) ║(m,n).

l

M₀ M(x;у)

На прямій беремо біжучу точку М з координатами (х; у).

Розглянемо (х-х₀;у-у₀).

М₀М ║- колінеарні.

(3) - канонічне рівняння прямої.

Наприклад: Написати рівняння прямої, що проходить через т.M₀ (2;-1) ║(0;3).

5.Параметричне рівняння прямої.

В рівності (3)відношення позначимо через t.

t , t

y=y₀+mt (4) – параметричне рівняння прямої.

6.Рівняння прямої через 2 точки.

Нехай пряма l проходить через 2 точки : М₁(х₁;у₁) і М₂(х₂;у₂).

l

M₁ M₂

=₁₂= (x₂-x₁;y₂-y₁)

Вектор М₁М₂ колінеарний прямій l і може грати роль вектора - напрямного вектора.

(5)- рівняння прямої через 2 точки.

7.Рівняння прямої у відрізках на осях координат.

Нехай пряма l від осі 0Х відсікає відрізочок а, від 0Y- в.

Y

l B

b A

0 X

Оскільки пряма перетинає осі, то знайдені точки перетину:

В(0;b), A(a;0)

Використаємо рівняння (5)

, ,

, (6)- рівняння прямої y відрізках на осях координат.

8. Рівняння прямої через кутовий коефіцієнт.

а) нехай пряма l проходить через т. M₀(x₀;y₀) і має кутовий коефіцієнт з додатнім напрямком осі 0Х.

Кутовий коефіцієнт прямої - це tg кута нахилу прямої з додатнім напрямком осі 0Х.

tgα=k,

M₀(x₀;y₀), M(x;y).

З ΔМ₀МN:tgk=tgα=tgα==>

y-y₀=k(x-x₀), (7)- рівняння прямої через кутовий коефіцієнт і точку.

Y l

M

y

y- y₀

y₀ M₀

x- x₀ N

0α x₀ x X

б) З рівності (7) розкриємо дужки і знайдемо у. Величину у₀-kx₀ позначимо через b і отримаємо рівняння:

у=kx+b, (8) – рівняння прямої через кутовий коефіцієнт, де b – відрізок, відсікає пряма від осі 0Y.

Взаємне розміщення прямих на площині.

Нехай прямі l₁ і l₂ задані загальними рівняннями:

A₁x+B₁y+c₁=0,

A₂x+B₂y+c₂=0

1.l₁║ l _2,

2. l_1, l ₂ – перетинаються,

3. l_1, l ₂ – співпадають.

Кут між прямими на площині.Умови ║та прямих.

Задані загальним рівнянням	Задані канонічно	Задані через кутовий коефіцієнт
l1:A1x+b1y+c1=0, (A1;B1); l2:A2x+b2y+c2=0, (A2;B2); n1 n2 l2 α cosα=	l1: 1 (m1;n1); l2: 2 (m2;n2); cosα= =	l1:y=k1x+b1, l2:y=k2x+b2, α = β- γ tg α= tg(β- γ)= = tg α=

Умови паралельності прямих.

l1║ l2║,

l1║ l2║,

l1║ l2k2=k1

Умови перпендикулярності векторів.

l1┴l2=0, A1A2+B1B2=0

l1┴l2=0, m1m2+n1n2=0

l1┴l2k1k2=-1

Відстань від точки до прямої.

Знайдемо відстань т.М₀(х₀;у₀) до прямої l, заданої рівнянням: Ax+By+c=0

l

M₀

d

M

(A;B),

M(x;y),

d=M₀M

Розглянемо вектор =(x-x₀;y-y₀)

т.М є l, =A(х-x₀)+B(y-y₀)=-Ax₀-By₀-c

Ax+By=-c

Розглянемо скалярний добуток за означенням цих векторів.

=cosφ=±d

d= - Відстань від точки до прямої.