Застосування векторного добутку

1. Момент сили .

2. Перевіряється умова колінеарності векторів. Якщо , то вектори - колінеарні.

3. Кут між векторами .

4. Площа паралелограма дорівнює модулю векторного добутку .

5. Площа трикутника, побудованого на векторах як на сторонах .

Наприклад: Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах

(кв.од.)

Мішаний добуток векторів

Означення: Мішаним добутком трьох векторів називається векторний добуток двох перших векторів помножений на третій скалярно: =().

Результатом мішаного добутку є число додатне, якщо трійка векторів права або від’ємне, якщо трійка векторів ліва.

Геометричний зміст мішаного добутку.

Отже, геометричний зміст мішаного добутку це - об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах, як на ребрах.

Властивості мішаного добутку

1. Якщо в мішаному добутку поміняти місцями будь-які два вектори, то його знак змінюється на протилежний .

2. Знаки операцій векторного та скалярного добутку можна міняти місцями =()=.

3. Скалярний множник можна виносити за знак мішаного добутку =.

Мішаний добуток в координатах

Нехай вектори задані координатами:

, , .

Знайдемо: .

За означенням =().

, то

,

Отже, мішаний добуток в координатах дорівнює:

.

Застосування мішаного добутку

1. Об’єм паралелепіпеда побудованого на векторах, як на ребрах =.

2. Об’єм піраміди .

3. Умова компланарності векторів: Якщо =0, то вектори компланарні.

III Аналітична геометрія

Аналітична геометрія – це розділ вищої математики, який вивчає точки, лінії, поверхні, тіла за допомогою методу координат. Метод координат полягає: кожна точка в системі координат характеризується своїми координатами. Лінії, поверхні, тіла розглядають як множину точок, що мають певну спільну властивість. Ця властивість називається алгебраїчним рівнянням лінії, поверхні, тіла і т. д.

Наприклад: Ах+Ву+С=0 – алгебраїчне рівняння першого степеня, що визначає пряму на площині;

- алгебраїчне рівняння другого порядку, що визначає на площині коло, а в просторі – круговий циліндр, твірні якого паралельні .

Скласти рівняння лінії (поверхні і т. д.) означає координати довільної точки , зв’язати аналітично з даними, що належить лінії поверхні і т.д.

Найпростіші задачі аналітичної геометрії.

До найпростіших задач аналітичної геометрії належать: відстань між двома точками, поділ відрізка в даному відношенні, паралельний перенос системи координат

1. Відстань між двома точками.

Нехай відомі координати точок та : , .

Розглянемо вектор .

Відстань між точками рівна довжині вектора .

Отже, ==.

2. Поділ відрізка в даному відношенні.

Нехай відрізок ділиться т. М у відношенні : .

Якщо відомі координати точок М₁ та М₂ , то знайдемо . Координати точки М(х,у,z).

Вектори колінеарні, тому:

Звідки випливає:

Якщо , то відрізок М₁ М₂ ділиться точкою М пополам, тоді:

.