Дослідження систем за допомогою рангів

Мінором k-го порядку називається визначник, утворений з k рядків і k стовпчиків даної матриці.

Наприклад: знайти мінори матриці

Найвищий порядок мінора, відмінного від нуля, називається рангом матриці r(A)=3.

Розглянемо систему рівнянь (1) для якої матриця А – це матриця задана з коефіцієнтів при невідомих, а матриця - розширена матриця до матриці А, яка складається з коефіцієнтів при невідомих та вільних членів.

1). Теорема Кронекера-Капеллі: якщо ранг матриці А дорівнює рангу розширеної матриці і дорівнює числу невідомих, r(A)=r()=n, то система має єдиний розв’язок.

2). Якщо ранг матриці А дорівнює рангу розширеної матриці r(A) r(). ,то система не має розв’язку:

3). Якщо ранг А дорівнює рангу розширеної , але менше числа невідомих, r(A)=r() < n

то система має безліч розв’язків.

Іі Елементи векторної алгебри

Предметом вивчення цього розділу вищої математики є вектори, дії над ними та їх застосування.

Вектор – напрямний відрізок.

Вектор позначається однієї малою буквою латинського алфавіту із стрілкою зверху або символом , де т. А – початок, а т. В – кінець вектора.

Довжиною або модулем вектора називається довжина відрізка АВ. Позначається вона символом ..

Вектор називають нульовим, якщо початок і кінець його збігаються. Позначають нульовий вектор символом .

Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним. Такий вектор позначається

Вектори, що мають одинакові напрямки, називають співнапрямленими, а вектори, що мають протилежні напрямки – протилежнонапрямленими.

Вектори, що лежать в паралельних площинах, або в одній площини називаються компланарними.

Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на паралельних прямих або на одній прямій.

Два вектори називаються рівними, якщо вони колінеарні, співнаправлені і мають однакову довжину.

Два колінеарні вектори, Які мають однакову довжину і протилежно напрямлені, називаються взаємно протилежними.

Над векторами можна виконувати лінійні операції : додавати, віднімати, множити вектор на число.

Якщо вектори задані направленими відрізками то : сумою двох векторів і , відкладених послідовно, є вектор . Який сполучає початок першого з кінцем другого. Правило суми двох векторів узагальнюються на суму кількох векторів

Геометрично вектори можна додавати за правилом трикутника або паралелограма:

а) правило трикутника; б)правило паралелограма

+= +=

Різницею двох векторів і називається такий вектор , який в сумі з вектором дає вектор :

,

Різницею двох векторів і , що виходять з однієї точки, є вектор, який сполучає кінці цих векторів і направлений в сторону того вектора, від якого віднімаємо:

Геометрично різницю векторів можна знаходити за правилом паралелограма:

Добутком вектора на число є вектор, співнаправний з вектором , якщо - число додатне, протилежно направлений з вектором , якщо - від’ємне число. Модуль даного вектора дорівнює , причому якщо , то довжина вектора зменшується, а якщо ,то довжина вектора збільшується.

Операції додавання і множення вектора на число мають такі властивості:

1. ; 5. ;

2. (; 6. ;

3. ; 7. (;

4. ; 8. 1.