Теоремы о представлении множества планов злп
Теорема 9.5
(теорема о представлении множества
планов ЗЛП). Пусть
множество планов ЗЛП
- выпуклое замкнутое ограниченное
множество,
-
совокупность всех угловых точек
.
В таком случае множество
является выпуклой оболочкой множества
,
т.е.
Эта
теорема позволяет представить все
многообразие точек многогранника через
конечное число его угловых точек.
Коэффициенты
определяются однозначно только в том
случае, если множество
имеет ровно
угловых точек. Такой многогранник
называется симплексом.
Пример 9.3.
Симплекс в пространстве
.
Убедимся, что
определяются однозначно для любого
из
(рис. 9.1).
Рис
9.1. Множество
.
Любую
внутреннюю точку отрезка
можно представить как
,
.
Введем следующие обозначения
,
Таким
образом, существуют
:
,
,
,
.
Пример 9.4.
Симплекс в пространстве
.
Убедимся, что
определяются однозначно для любого
из
(рис 9.4).
Рис
9.4. Множество
.
Для
симплекса в
выше показана однозначность представления.
Значит
-
для
имеем
,
,
,
; -
для
имеем
,
,
,
.
Объединяя, получим
.
Если
обозначить
,
,
,
то
,
причем
,
т.е.
однозначно нашли коэффициенты
такие, что
,
для
любого
из
.
Теорема 9.6
(теорема о представлении неограниченного
многогранного множества планов ЗЛП).
Пусть
множество планов ЗЛП
- выпуклое неограниченное замкнутое
множество. Точки
- все угловые точки множества
,
- направляющие вектора его неограниченных
ребер. Тогда множество
совпадает с совокупностью точек
вида
Свойства решений злп
Задача линейного программирования может не иметь решения, если либо целевая функция F неограниченна на множестве допустимых планов M, либо система ограничений задачи несовместна.
Теорема 9.7. Если ЗЛП имеет решение, то оно достигается в угловой точке множества планов.
Д
о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
- оптимальный опорный план, т.е.
для любого
.
Предположим противное:
не является угловой точкой, тогда по
теореме о представлении множества
планов ЗЛП, эту точку можно представить
в виде
,
где
- все угловые точки множества
.
Подсчитаем
значение линейной формы ЗЛП в точке
.
Так
как число угловых точек - конечно, то
можно найти ту угловую точку
,
значение линейной формы в которой
наибольшее
.
Тогда
.
Следовательно,
нашлась точка
такая, что
.
Но так как
для любого
мы пришли к противоречию, а значит
- угловая точка множества планов ЗЛП.
Теорема 9.8. Если линейная форма ЗЛП достигает наибольшего значения более чем в одной угловой точке, то она достигает максимальное значение и в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией данных угловых точек.
Д
о к а з а т е л ь с т в о. Пусть угловые
точки
таковы,
что
.
Построим некоторую
точку
как выпуклую линейную комбинацию этих
угловых точек:
.
Найдем значение линейной формы в этой точке
,
следовательно, эта точка также является решением ЗЛП.
Контрольные вопросы
1. Приведите постановку общей задачи линейного программирования.
2. Какая задача линейного программирования называется канонической?
3. Пояснить понятия плана ЗЛП и оптимального плана ЗЛП.
4. Опишите способ приведения к канонической форме задачи линейного программирования.
5. Что такое множество планов ЗЛП, какими свойствами оно обладает?
6. Поясните понятие угловой точки множества планов задачи линейного программирования.
7. Приведите
необходимое
и достаточное условие того, что точка
является угловой точкой множества
допустимых планов ЗЛП?
8. Дайте определения опорного плана и базиса опорного плана.
9. Какой опорный план называется вырожденным (невырожденным)?
10. Приведите формулировку теоремы о представлении ограниченного множества планов ЗЛП.
11. Приведите формулировку теоремы о представлении неограниченного многогранного множества планов ЗЛП
12. Перечислите свойства решений ЗЛП.