Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

Нехай дано дві неспівпадаючі точки і ,

у х L 0

через які проходить пряма . Очевидно, вектор є напрямним до прямої . Із канонічного рівняння прямої дістаємо:

(4)

– рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки.

Приклад. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точки і .

Розв’язування. За формулою (4) маємо:

; , або ,

.

Зауваження. Якщо один із знаменників дробів у формулі (4) дорівнює нулю, наприклад , то це означає, що пряма паралельна осі і має рівняння . Аналогічно, якщо , то пряма паралельна осі і має рівняння .

Приклад. Задано вершини трикутника , , . Скласти рівняння його сторін.

Розв’язування. За формулою (4) маємо:

рівняння сторони :

; , , .

: ; , .

: ; , .

Рівняння прямої у відрізках на осях.

у х	Розглянемо пряму, яка проходить через точки і , тобто відтинає відповідно на осях і відрізки і . Використовуючи рівняння прямої, яка проходить через дві точки, отримуємо:

; ; звідси:

– рівняння прямої у відрізках на осях.

Зауваження. Цим рівнянням не можна користуватися, якщо пряма паралельна одній з координатних вісей або проходить через початок координат.

Приклад. Записати рівняння у вигляді рівняння прямої у відрізках. Побудувати графік.

Розв’язування. ;

або ; ; .

у х Пряма проходить через точки і .

l 5

-2

Відстань від точки до прямої.

Відстань від точки до прямої обчислюється за формулою:

(5)

Приклад. Знайти відстань від точки до прямої .

Розв’язування. За формулою (5) отримуємо:

.

Приклад. Задані вершини трикутника , , . Знайти довжину висоти, яка проведена з вершини .

Розв’язування. Знайдемо довжину висоти як відстань від точки до прямої . Рівняння знайдемо за формулою (4):

; ; .

Отже, довжина висоти дорівнює:

.

Кутовий коефіцієнт прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Кутом нахилу прямої до осі Оx називається кут , на який потрібно повернути в додатному напрямку (проти годинникової стрілки) вісь Ох до тих пір, доки вона не співпаде або не стане паралельною до даної прямої.

Тангенс кута нахилу називається кутовим коефіцієнтом прямої і позначається , тобто

.

Якщо пряма не паралельна осі Oy і на цій прямій задані будь-які дві

N	точки і , то кутовий коефіцієнт прямої обчислюється за формулою: . Дійсно, у прямокутному трикутнику .

Зауваження 1. Якщо пряма буде паралельна до осі ординат (тобто ), то , отже, кутовий коефіцієнт неможливо визначити.

Приклад. Нехай , – точки прямої . Тоді її кутовий коефіцієнт: .

Розглянемо загальне рівняння прямої . Якщо , то пряма не паралельна осі ординат. Розв’яжемо це рівняння відносно : . Позначимо , .

Отримуємо: – рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, де – кутовий коефіцієнт прямої, – відрізок, який відтинає пряма на осі ординат.

Наслідок. Графіком лінійної функції є пряма.

Приклад. Звести загальне рівняння прямої до рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Розв’язування. Розв’язуємо дане рівняння відносно :

. Отримаємо . Отже, .

Приклад. Скласти рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом , якщо вона проходить через точку .

Розв’язування. Підставляючи в рівняння координати точки і значення кутового коефіцієнта , знаходимо :

. Звідси . Отже, .