1. Вычисление определенных интегралов Справочная информация

При решении инженерных задач возникают ситуации, когда аналитическое вычисление определённого интеграла затруднено или невозможно. В подобных ситуациях решение может быть получено одним из методов приближённого вычисления значения определённого интеграла.

Все методы приближённого вычисления определённых интегралов основаны на геометрическом смысле интеграла Ньютона−Лейбница. Он заключается в том, что определенный интеграл

численно равен площади S криволинейной трапеции, ограничен­ной графиком подынтегральной функции f(x) и осью абсцисс на отрезке [a, b] (см. рис.1).

П

Рис.1.

оэтому для приближённого вычисления определённого интеграла доста­точно подсчитать площадь трапеции S. Можно указать множество способов вычисления площади S: формулы прямоугольников, Симпсона, Гаусса и другие. Простейшая из них – формула трапеций.

Формула трапеций

В формуле трапеций площадь криволинейной трапеции S заменяется суммой площадей элементарных трапеций (см. рис.2). Такой подход приводит к вычислению определённого интеграла I по формуле

и

Рис.2.

ли, раскрывая сумму,

Реализация формулы

Основой реализации любого вычислительного метода в программе Excel является представление его алгоритма в виде таблицы. При этом часто используется следующий подход: столбцами таблицы являются последовательно получаемые промежуточные результаты расчёта при одном значении аргумента или на одной итерации, а строками – последовательность значений аргумента или итерации. Иногда из этой закономерности выпадает первая строка таблицы, так как её используют для ввода начальных значений.

Описанный выше подход к формированию расчётной таблицы не является догмой. Каждый пользователь вправе использовать свой подход, но обычно он в той или иной мере основывается на описанных выше принципах.

Пример. Методом трапеций вычислить в программе Excel интеграл

с шагом интегрирования h = 0.1.

Одна из возможных реализаций формулы трапеций представлена таблицей 1 следующего вида (см. формулу)

Таблица 1.

i	xi
0	x0
1	x1
…	….	………
n	xn

Столбец «i» не несет никакой информационной нагрузки, кроме пояснения к используемым формулам, а потому при реализации в программе Excel может быть опущен. Таблица интегрирования будет выглядеть следующим образом (см. рис.3)

Рис.3.

Результат интегрирования располагается в ячейке В13. Выбор этой ячейки для записи результата может быть произвольным и делается только из соображений эстетики.

Оценка погрешностей численного интегрирования

Точность вычисления любой величины определяется погрешностью, которая может быть представлена в абсолютной или относительной форме. Абсолютная погрешность величины есть модуль разницы между её точным и приближённым значениями. Например, между точным значением определённого интеграла и его значением, полученным выбранным численным способом при конкретном количестве участков разбиения отрезка [a, b]

.

Относительная погрешность является более информативным параметром точности вычисления искомой величины. Она оценивает ошибку решения в долях точного (или лучшего из имеющихся) значения этой величины и вычисляется как модуль отношения разницы между точным и вычисленным значениями величины к её точному значению

.

Анализ формулы трапеций численного интегрирования непрерывно диф­­ференциру­емых на отрезке [a, b] подынтегральных функций f(x) позволяет получить следующую оценку абсолютной погрешностей вычисления интегралов:

На практике, такое вычисление погрешности при интегрировании затруднено, так как требует решения дополнительной, зачастую даже более сложной, задачи поиска максимума высших производных подынтегральной функции. Поэтому чаще для вычисления погрешности методов используют апостериорные оценки, базирующиеся на правиле Рунге (правило двойного счёта). Учитывая, что для оценки погрешности может быть использовано отношение

,

где коэффициент C_m включает в себя длину участка интегрирования, максимум модуля производной и соответствующий коэффициент. Использование этой зависимости при уменьшении шага интегрирования вдвое позволяет записать погрешность вычисления интеграла в виде

.

Сравнение последних двух формул даёт основное соотношение правила Рунге, справедливое для всех способов приближённого вычисления интеграла

,

где S(h/2) и S(h) – приближённые значения интеграла, вычисленные при шагах разбиения отрезка [a, b], отличающихся друг от друга в два

раза. Исходя из этого, для оценки погрешности вычисленного значения интеграла с выбранным шагом надо повторить вычисления, удвоив величину шага, и воспользоваться приведённым выше соотношением.

Например, если требуется сделать оценку погрешности вычисленного значения интеграла с шагом интегрирования h = 0.1, при котором S(0.1)= 0.6176, требуется повторить вычисления с шагом h = 0.2.

Значение интеграла при этом шаге S(0.2)=0.6236.

Таким образом, абсолютная и относительная погрешности вычисления значения интеграла могут быть вычислены по правилу Рунге

,

.

Если постановка задачи требует получение результатов с меньшей погрешностью, чем была получена, то необходимо дальнейшее уменьшение величины шага разбиения отрезка интегрирования [a, b]. Однако этот процесс нельзя продолжать бесконечно. Он ограничивается точностью представления данных в ЭВМ: существует некоторое минимальное значение шага разбиения отрезка [a, b], дальнейшее уменьшение которого вызовет рост погрешности вычисления интеграла.