Минимизация формул алгебры логики

Формулы алгебры логики, полученные с помощью таблиц истинности или другими способами, как правило, подлежат минимизации – упрощению.

Например, формулу

можно упростить, используя закон де Моргана для освобождения от отрицаний:

Минимизацию можно осуществить двумя группами методов.

1. Алгебраическими методами минимизации

Он предполагает использование законов алгебры логики, выраженных формулами:

закон исключенного третьего

закон противоречия

закон двойного отрицания

две формы закона де Моргана

A + A&B = A закон поглощения

A&B + A& = A закон склеивания

A+A + A

A&A = A две формы закона идемпотентности

а также формул преобразования логических операций:

импликации

эквивалентности

Пример:

Как видно, минимизация алгебраическими методами не всегда проста.

2. Табличными методами минимизации

Они предполагают использование в качестве исходной формулы ту, которая получена с помощью таблиц истинности – совершенную дизъюнктивную нормальную форму логической функции.

Возьмем любую логическую функцию двух аргументов:

X	Y	F
0	0	1
0	1	0
1	0	1
1	1	0

Составляем сумму произведений аргументов тех строк, значение функции в которых истинно:

F =

Составляем таблицу, называемую диаграммой Вейча для функции двух аргументов:

X

Y

Записываем единицы в тех ячейках таблицы, которые соответствуют произведениям:

	1
	1

X

Y

Единицы, стоящие в ячейках, соприкасающихся сторонами, можно объединить (склеить). При этом вместо двух слагаемых остается одно, имеющее один аргумент, общий для объединяемых ячеек. В данном случае это . Результат минимизации:

F = =

При расстановке слагаемых так:

1	1

X

Y

получаем следующую минимальную форму:

F = X

При такой расстановке слагаемых:

1	1
	1

X

Y

Имеются два объединения, которые соответствуют следующей минимальной форме:

Если таблица полностью заполнена единицами:

1	1
1	1

X

Y

То после объединения четырех соприкасающихся ячеек получаем следующую минимальную форму:

F = 1

Таким образом, объединять можно по две или по четыре ячейки, оставляя общий для них аргумент.

Диаграмма Вейча для функции трех аргументов имеет вид:

Z

X

Y

Здесь тоже можно объединять по две или четыре ячейки, соприкасающиеся сторонами. При этом остаются аргументы, общие для объединенных ячеек:

Z

1	1
	1	1

X

Y

В этом случае имеются три объединения, образующие следующую минимальную форму:

F = X&Y + Y&Z + &Z

При объединении четырех соприкасающихся ячеек остается один общий для них аргумент:

Z

1	1
1	1

X

Y

В этом случае:

F = Y

Можно объединять ячейки, находящиеся на противоположных концах диаграммы:

Z

1			1

X

Y

При этом остаются общие для них аргументы:

F = X&

В этом случае:

Z

1			1
1			1

X

Y

минимальная форма имеет вид:

F =

Приложение 2