Логическое совпадение(эквивалентность)

Соединение двух простых высказываний А и В в одно сложное с использованием оборота “…тогда и только тогда, когда …” называется эквивалентностью.

В литературе операция импликации обозначается как ↔ или ~.

Пример: высказывание А=”Х – четное число”,

высказывание В=”Х делится без остатка на два”,

эквивалентность A↔ B = “ Х – четное число тогда и только тогда, когда Х делится без остатка на два ”.

Эквивалентность A↔ B будет истинна только тогда, когда истинны или ложны оба составляющие ее высказывания одновременно:

A	B	A↔ B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Эквивалентность можно представить через операции НЕ, И, ИЛИ:

A↔ B ≡ & + A&В

Логические функции И, ИЛИ, НЕ образуют полную систему функций или базис – систему логических функций, позволяющую строить логические функции любой сложности.

Логические высказывания, объединенные логическими функциями, образуют переключательные функции – они, как и входящие в них аргументы, могут принимать только два значения – истина (1) или ложь (0).

Среди переключательных функций особое место занимают тавтологии – переключательные функции, значение которых истинно для любых значений входящих в них аргументов. Тавтологии выражают основные законы алгебры логики:

• закон исключенного третьего

• закон противоречия

• закон двойного отрицания

• закон де Моргана

• закон контрапозиции

• закон расширенной контрапозиции

• закон перестановки посылок

• закон силлогизма

Закон исключенного третьего

Этот закон выражается тавтологией:

А + ≡ 1

логическая сумма высказывания и его отрицания всегда истинна.

Закон исключенного третьего можно проверить таблицей истинности:

А		А+
0	1	1
1	0	1

Известна и латинская формулировка этого закона: “Tertium non datur”, что в переводе означает “Третьего не дано”.

Пример: высказывание А=”Сегодня пятница”,

высказывание =”Сегодня НЕ пятница”,

дизъюнкция этих высказываний А+ = “ Сегодня пятница ИЛИ сегодня НЕ пятница ”.

“НЕ пятница” означает любой другой день недели, кроме пятницы. Значит, сложное высказывание А+ говорит о том, что сегодня пятница ИЛИ любой другой день недели – оно всегда истинно. День недели – это или пятница, или НЕ пятница – третьего варианта не будет. Поэтому этот закон называется законом исключенного третьего.

Закон гласит о том, что любое событие либо состоится, либо его не будет, но какой-то из этих двух вариантов обязательно произойдет.