Контрольні запитання

1. Які коливання називаються вільними, а які гармонічними?

2. Які коливання називаються загасаючими?

3. Запишіть рівняння гармонічного коливання.

4. Як змінюється з часом амплітуда загасаючих коливань?

5. Від чого залежить частота загасаючих коливань?

6. Які коливання називаються вимушеними?

7. Від чого залежить частота вимушених коливань?

8. Від чого залежить величина амплітуди вимушених коливань?

Література

1. Кучерук І.М., Дущенко В.П. Загальна фізика. Т.: 1. – К.: „Вища школа”, 1987 – 1991.

2. Бушок Г.Ф. і ін. Курс фізики. Кн. 1. – К.: „Либідь”, 2001.

3. Кучерук І.М., Горбачук І.Т., Луцик П.П. Загальний курс фізики. Т.: 1. – К.: „Техніка”, 2001.

4. Галущак М.О. Курс загальної фізики. Кн. 1. – І-Ф.: „Факел”, 2000.

5. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: „Высшая школа», 1990.

В-17 Визначення коефіцієнтів опору та динамічної в’язкості середовища за допомогою аналізу загасаючих та вимушених коливань пружинного маятника

Мета: ознайомитись із загасаючими та вимушеними коливаннями реальної коливної системи в певному середовищі; навчитись визначати коефіцієнти опору та динамічної в’язкості середовища.

Прилади і матеріали: комп’ютерна програма ”Загасаючі та вимушені коливання”, секундомір, вимірна лінійка.

Теоретичні відомості

На реальні коливні системи завше діють сили опору середовища та сили тертя. На їх подолання коливна система витрачає надану їй енергію. Тому амплітуда коливань з часом буде зменшуватись. Такі коливання називаються загасаючими. Через деякий час вони припиняються.

На таку коливну систему, наприклад, пружинний маятник в деякому середовищі, будуть діяти сили пружності і опору , де k – коефіцієнт жорсткості пружини, а r – коефіцієнт опору (для малих швидкостей залежність F_о(υ) має лінійний характер). Тоді ІІ закон Ньютона матиме вигляд:

. (17.1)

Спроектувавши на напрям руху, отримаємо:

-kx – rυ = ma . (17.2)

Враховуючи, що υ = , a = , отримаємо диференціальне рівняння загасаючих коливань :

. (17.3)

В загальному вигляді диференціальне рівняння загасаючих коливань має вигляд:

, (17.4)

а його розв’язок

, (17.5)

де – (17.6)

амплітуда загасаючих коливань (рис. 17.1),

β = r/2m – (17.7)

коефіцієнт загасання,

– (17.8)

циклічна частота,

– (17.9)

власна циклічна частота, – початкова фаза.

Враховуючи співвідношення (17.8-7.9), період загасаючих коливань рівний

. (17.10)

Для більшої точності визначення періоду загасаючих коливань потрібно вимірювати час t = , тобто час повних коливань. Тоді із (17.10) отримуємо вираз для знаходження коефіцієнта опору середовища:

. (17.11)

Зверніть увагу, що: 1) загасаючі коливання лише умовно можна вважати періодичними – внаслідок зменшення амплітуди коливання вони повторюються не абсолютно точно; 2) період коливань тіла у в’язкому середовищі більший, ніж період його власних коливань; 3) коли опір середовища великий, коливання не виникають, зміщене тіло повільно повертається у вихідне положення рівноваги.

Щоб коливання не загасали, до системи потрібно підводити енергію ззовні. Найкраще це робити дією зовнішньої періодичної змінної сили

(17.12)

Таку силу називають вимушуючою, а коливання, що виникають під її дією, вимушеними.

Згідно з другим законом Ньютона

. (17.13)

Тоді диференціальне рівняння вимушених коливань матиме вигляд:

(17.14)

Розв’язком даного рівняння є

, (17.15)

де . (17.16)

Рисунок 17.2

Тобто вимушені коливання є гармонічними (17.15), частота яких дорівнює частоті вимушуючої сили. Амплітуда вимушених коливань (рисунок 17.2) залежить не тільки від амплітудного значення вимушуючої сили, а й від її частоти (17.16). Для певного значення частоти вимушуючої ї сили ω_р амплітуда вимушених коливань різко зростає, досягаючи максимального значення. Таке явище називається резонансом.

Із умови мінімуму підкореневого виразу в (17.16) отримаємо

, (17.17)

звідки . (17.18)

Якщо тіло, що рухається у в’язкому середовищі з малою швидкістю, має сферичну форму, то силу опору можна визначити за допомогою точнішої формули Стокса:

, (17.19)

де η – коефіцієнт в’язкості середовища; υ – швидкість; R – радіус сфери. Прирівнюючи два вирази для сили опору, отримуємо вираз для коефіцієнта в’язкості:

. (17.20)

Тобто, знаючи радіус кулі R, її масу m або густину ρ, а також коефіцієнт жорсткості пружини k, визначивши експериментальне значення коефіцієнта середовища r, можна за допомогою формул (17.11) і (17.20), або (17.18) і (17.20) визначити коефіцієнт динамічної в’язкості середовища η, в якому ця куля здійснює коливання.