Внутрішня енергія і теплоємність ідеального газу

Теплоємністю якого-небудь тіла називають величину, рівна кількості теплоти, яку потрібно надати тілу, щоб підвищити його температуру на один кельвін. Аналітично це визначення записується в такий спосіб:

, (21.3)

де - кількість теплоти, надання якої підвищує температуру тіла на . Теплоємність тіла вимірюється в Дж/К.

Теплоємність одиниці маси речовини, яку називають питомою теплоємністю, позначають малою літерою . Вимірюється вона в Дж/(кг·К).

У фізиці воліють користатися теплоємністю моля речовини, яку називають молярною теплоємністю. Вимірюється вона в Дж/(моль·К). Позначають цю теплоємність прописною буквою .

Питома і молярна теплоємності пов'язані співвідношенням

(21.4)

де – молярна маса.

Теплоємність залежить від умов, при яких відбувається нагрівання тіла. Найбільший інтерес являє собою теплоємність для випадків, коли нагрівання відбувається при сталому об’ємі чи при сталому тиску. У першому випадку ми маємо справу з теплоємністю при сталому об’ємі , у другому – з теплоємністю при сталому тиску .

Якщо нагрівання відбувається при сталому об’ємі, то тіло не виконує роботи над зовнішніми тілами і, отже, уся теплота йде на приріст внутрішньої енергії тіла: (див. формулу (1.2)). Звідси випливає, що молярна теплоємність будь-якої речовини при сталому об’ємі дорівнює

(21.5)

Теплоємність при сталому тиску більша, ніж , тому що при тіло, що нагрівається, розширюється і частина наданої теплоти витрачається на здійснення роботи над зовнішніми тілами.

Дослідним шляхом встановлено, що у газів, близьких по своїх властивостях до ідеального газу, теплоємність при сталому об’ємі в широких температурних інтервалах практично не залежить від температури: .

Відповідно до формули (21.5)

.

Проінтегрувавши це співвідношення, отримаємо вираз для внутрішньої енергії моля ідеального газу

(21.6)

Внутрішня енергія визначається з точністю до довільної сталої. Тому константу у виразі для можна відкинути. Внутрішня енергія – величина адитивна. Отже, внутрішня енергія маси газу буде дорівнювати

(21.7)

Запишемо рівняння першого закону термодинаміки для моля газу, підставивши і припустивши, що теплота надається газу при постійному тиску:

,

( – об’єм 1 моля). Поділивши цей вираз на приріст , що отримує температура при наданні газу теплоти , прийдемо до формули для молярної теплоємності газу при сталому тиску:

().

Відповідно до формули (21.5) доданок дорівнює молярній теплоємності при сталому об’ємі. Отримуємо

(21.8)

Ми не робили ніяких припущень про властивості газу, тому формула (2.6) справедлива для будь-яких газів. Тепер припустимо, що газ ідеальний. Відповідно до рівняння стану ідеального газу (для одного моля ) . Продиференціюємо цей вираз по в припущенні, що , отримаємо

(21.9)

Підстановка цього значення похідної приводить до співвідношення

, (21.10)

яке називається рівнянням Майєра. Таким чином, робота, виконана молем ідеального газу при підвищенні його температури на один кельвін при сталому тиску, дорівнює газовій сталій .

Підкреслимо, що співвідношення (21.10) справедливо лише для ідеального газу.

Відношення теплоємностей

(21.11)

називається показником адіабати і являє собою характерну для кожного газу величину. Молекулярно-кінетична теорія дозволяє встановити зв'язок між теплоємністю ідеального газу і кількістю ступенів вільності молекули. Внутрішню енергію моля ідеального газу можна знайти, помноживши середню енергію однієї молекули на сталу Авогадро . Середня енергія молекули дорівнює . Отже,

(21.12)

Порівняння виразів (21.6) і (21.12) дає для молярної теплоємності ідеального газу при сталому об’ємі формулу

. (21.13)

Відповідно до закону Майєра

(21.14)

З формул (21.10) і (21.14) випливає, що

(21.15)