
- •Практическое занятие №25
- •2. Пояснения к работе
- •2.1 Краткие теоретические сведения:
- •2.1.1 Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Эта формула называется общей формулой трапеций. Общую формулу трапеций можно переписать в более удобном виде:
- •2.1.3 Формула Симпсона
- •2.1.4 Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера
- •3. Задание Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
Практическое занятие №25
«Численное интегрирование с помощью формул прямоугольников, трапеций, Симпсона.
Приближенное решение дифференциальных уравнений с помощью формул Эйлера»
1. Цель: Выработать навыки и умения по применению методов приближённого
интегрирования – формул прямоугольников, трапеций и Симпсона, в решении
приближенными методами дифференциальных уравнений
2. Пояснения к работе
2.1 Краткие теоретические сведения:
2.1.1 Формула прямоугольников
Известно, что не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. Кроме того, на практике сталкиваются с необходимостью вычислять интегралы от функций, заданных табличным или графическим способами, а так же интегралы от функций, первообразные которых выражаются через элементарные очень сложно, что требует большой вычислительной работы и с практической точки зрения нерационально. В этих случаях вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона – Лейбница затруднительно, поэтому прибегают к различным методам приближенного интегрирования. Наиболее простым методом приближенного вычисления определенного интеграла является метод прямоугольников, основанный на непосредственном определении интеграла:
,
где
есть интегральная сумма, соответствующая
некоторому разбиению отрезка
и некоторому набору точек
отрезка разбиения.
Вычисление
определенного интеграла
геометрически сводится к вычислению
площади
криволинейной трапеции, ограниченной
неотрицательной функцией f(x),
осью абсцисс и прямыми
и
.
рис. 1.
Для
точности численного интегрирования
нужно отрезок
разбить
на несколько частей и для каждой из них
вычислить приближенное значение площади
криволинейной трапеции, основанием
которой является отрезок
,
а высотой - число
,
т.е. значение функции в точке
152
,
выбранное
из условия минимума ошибки интегрирования.
Тогда за приближенное значение
интеграла
на отрезке
принимают
интегральную сумму:
Практически
удобно делить отрезок
на
равные части
,
а точки
совмещать
с
левыми
или
правыми
концами отрезков разбиения. Если
точку
совместить с левым концом отрезка
,
то приближенное значение интеграла
геометрически
равно площади заштрихованной нижней
ступенчатой фигуры и может быть
представлено
формулой
левых прямоугольников:
(1)
где
-
шаг
разбиения. Если
же в качестве точки
.
выбрать правый конец отрезка
,
приближенное
значение интеграла
графически равно площади верхней
ступенчатой фигуры, и
вычисляется по формуле
правых прямоугольников:
(2)
Погрешность вычисления:
,
где
-
максимум
на
(3)
Пример
1.
Используя формулу прямоугольников при
,
вычислить с тремя десятичными знаками
.
Оценить допущенную погрешность.
Решение:
разделим отрезок
на 10 равных частей точками
и найдём значения функции
в этих точках:
|
1 |
1.1 |
1.2 |
1.3 |
1.4 |
1.5 |
1.6 |
1.7 |
1.8 |
1.9 |
2 |
|
1.000 |
0.909 |
0.833 |
0.769 |
0.714 |
0.667 |
0.625 |
0.588 |
0.556 |
0.526 |
0.5 |
Тогда
получим
и по формуле (1) находим
.
Оценим
погрешность. Имеем
;
функция
монотонно убывает на отрезке
,
поэтому
и
.
Так
как допущенная погрешность влияет уже
на второй знак после запятой, то третий
знак следует округлить. Значит,
.
Если вычислить этот интеграл по формуле
Ньютона –
153
Лейбница,
то получим
.
Таким образом, ответ
является приближённым значением
.
Но
;
следовательно, при вычислении допущена
погрешность, меньшая
.