2. Классическое определение вероятности

Рассмотрим конечное пространство элементарных событий,

где - попарно несовместные и равновозможные элементарные события. Пусть некоторому событию А благоприятствуют т из п элементарных событий пространства U. Вероятностью события р(А) называется отношение числа т элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему числу п равновозможных элементарных событий:

124

(1)

Из определения вероятности вытекают следующие её свойства:

1. Вероятность любого события ;

2. Вероятность достоверного события , так как ;

3. Вероятность невозможного события так как

Пример. В урне 3 белых и 9 черных шаров. Из урны наугад вынимают один шар. Какова вероят­ность того, что вынутый шар окажется черным (событие А)?

Решение: Имеем п = 12, т = 9, и поэтому

Пример. Подбрасывают две игральные кости. Найти вероятность того, что на них в сумме выпа­дает 6 очков (событие А).

Решение: При подбрасывании двух игральных костей общее число равновозможных элементарных исходов равно числу паргде х и у принимают значения 1, 2, 3, 4, 5, 6:

т.е. . Событию А благоприятствуют пять пар: , т.е. .

Следовательно, искомая вероятность

Пример. В урне белых и чёрных шаров. Из урны наугад вынимают шаров. Найти вероятность того, что среди них будет белых, а следовательно, чёрных .

Решение: Число элементарных событий . Подсчитаем число элементарных событий, благоприятствующих интересующему нас событию среди взятых шаров будет белых и чёрных. Очевидно, что число способов, которыми можно выбрать белых шаров из , равно, а число способов, которыми модно к ним «довыбрать» чёрных шаров, равно .

Каждая комбинация белых шаров может сочетаться с каждой комбинацией чёрных, поэтому . Следовательно, .

2.1.3 Дискретная случайная величина, закон ее распределения

Случайное событие, связанное с некоторым опытом, является качественной характеристикой опыта. Количественной же характеристикой результата проведенного опыта, является случайная величина Пример 1. Бросаются две правильные однородные монеты. Сколько из них выпадает гербом кверху?

125

Случайной называется величина, которая в результате опыта принимает с определенной вероятностью, то или иное значение, зависящее от исхода опыта. Случайные величины обозначают прописными буквами латинского алфавита: Х, Y, Z и т.д., а их значения – соответствующими буквами: x, y, z и т.д. Случайная величина называется дискретной, если множество её значений конечно или счётно, т.е. множество её значений представляет собой конечную последовательность . Вероятность того, что случайная величина Х примет значение х, обозначают

(2)

Соответствие между возможными значениями случайной величины Х и их вероятностями называется законом распределения случайной величины Х.

Закон распределения случайной величины может быть представлен в виде таблицы:

			...		...
			...		...

События образуют полную систему попарно несовместных событий, поэтому сумма их вероятностей равна единице

(3)

Пример. Закон распределения вероятностей случайной дискретной величины Х - числа очков, выпадающих при бросании правильной игральной кости, имеет вид, заданный таблицей:

	1	2	3	4	5	6

2.1.4 Биноминальное распределение случайной дискретной величины.

Пусть случайная величина Х – число появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления событий А равно p , а непоявления q = 1-p .

Очевидно, что X может принимать значения 0,1,2,..., n, вероятности которых определяются по формуле Бернулли:

(4)

Закон распределения случайной величины X, имеющий вид:

X	0	1	2	...	m	...	n
P				...		...

называется биноминальным распределением.

Пример. Составить закон распределения числа попаданий в цель при четырёх выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,9. Решение: случайная величина Х – число попаданий в цель при четырёх выстрелах – может принимать значения 0,1,2,3,4, а соответствующие им вероятности находим по формуле Бернулли (4):

Итак, искомый закон распределения имеет вид.

X	0	1	2	3	4
P	0,0001	0,0036	0,486	0,2916	0,6561

126