§4 Експоненціальна і тригонометрична функції в комплексній області

Очевидно перенести означення синуса і косинуса на комплексну область з дійсної прямої не є можливим (не має змісту кут в ) радіан. Тому для означення вказаних вище функцій в комплексній області скористаємося представленням цих функцій на дійсній прямій через степеневі ряди

,

,

,.

Розглянемо ряд

, (1)

і встановимо область його збіжності. Для встановлення області збіжності цього ряду утворимо ряд з модулів

.

Утворився знакододатний ряд і до нього можна застосувати ознаку Даламбера.

.

А це означає, що розглянутий ряд абсолютно збіжний на всій комплексній площині, а значить його сума є деяка функція задана на всій множині . Оскільки при ця сума дорівнює , то логічно назвати цю функцію (яка є сумою нашого ряду (1)) .

,

, .

Абсолютно аналогічно розв'язується проблема з синусом і косинусом. Матимемо,

,

, .

Розглянемо властивості тільки що введених функцій в комплексній області.

Ми встановили, що для

.

З цієї рівності зокрема випливає, що (доведіть це!). Далі,

. (2)

Перестановки і групування членів ряду законні, бо цей ряд абсолютно збіжний. Звідси і з (2) маємо,

, ,

де − модуль числа , − аргумент цього числа.

Якщо , то . Остання рівність означає, що поряд з алгебраїчною і тригонометричною формами комплексного числа можна говорити і про експоненціальну форму

.

З'ясуємо (в зв'язку з останньою рівністю) чи не буде число періодом експоненціальної функції. Справді,

,

а це означає, що експоненціальна функція періодична з періодом . Цей період є чисто уявне число і найменший за модулем відмінний від 0 період − .

Обчислимо,

;

.

Додавши ці два ряди одержимо:

(*)

(**)

Формули (*) та (**) називають формулами Ейлера.

З'ясуємо в що відображається комплексна - площина функцією . З вище сказаного видно, що значення 0 цією функцією не набирається. Візьмемо довільне і подивимося чи має це число прообраз в - площині. Для цього слід розв'язати рівняння .

,

,

,

,

, .

Таким чином вище взяте з - площини має в - площині безліч прообразів. Про них можна сказати, що всі вони лежать на прямій (див. рис.14).

Бачимо, що відображення переводить всю комплексну - площину в - площину з проколотою точкою 0 не взаємно однозначно. Кожна точка -площини, відмінна від 0, має в - площині безліч прообразів, що лежать на прямій, яка паралельна до уявної осі і віддалені одна від одної на відстань (рис. 14). З'ясуємо чи буде це відображення конформним. Для цього подивимося на похідну .

Для цієї функції виконуються умови Коші-Рімана в . Отже, ця функція диференційовна на всій комплексній площині. Тоді

.

Значить вказане вище відображення є конформним на всій комплексній площині.

Подивимося в що відображаються з допомогою цієї функції координатні прямі та (див. рис.15а). Нехай , значить і

.

Отже, образом цієї прямої в - площині є промінь, який виходить з початку координат під кутом до дійсної осі (див. рис.15б). Причому, якщо точка один раз пробігає пряму , то точка один раз пробігає промінь від його початку до кінця. Якщо і , то

.

Таким чином, видно, що образом прямої при відображенні буде коло радіуса (див. рис.15б). Причому, якщо точка один раз пробіжить пряму , то точка пробіжить коло в додатному напрямку безліч разів.

Подивимося чи знайдеться в - площині область, яку це відображення переведе на всю - площину взаємно однозначно. Для цього потрібно потурбуватися, щоб в цю область - площини не попали два якісь прообрази точки . Оскільки всі прообрази точки лежать на прямій, яка паралельна до уявної осі, на відстані один від одного, то з врахуванням відстаней координатної сітки легко догадатися, що таким претендентом є довільна смуга - площини паралельна до дійсної осі шириною . Візьмемо таку множину (див. рис.16а).

Очевидно, що ця смуга переведеться відображенням взаємно однозначно на всю - площину без 0. Якщо ж з цієї смуги вилучити нижню пряму , то її образом буде вся - площина з розрізом по променю, що виходить з початку координат під кутом до дійсної осі (див. рис.16б).

Зауважимо, що деяку область називають областю однолистності функції , якщо : . Інакше, кажуть, що функція є однолистною в області . Якщо ж в області є хоча б дві різні точки , : , то таку функцію називають многоглистною в області .

У зв'язку з цим функція є многолистною на всій комплексній площині, але однолистною в означеній вище смузі (тобто в довільній відкритій смузі шириною не більше , яка паралельна до дійсної осі ).