§4 Ряди комплексних чисел

В цьому параграфі ми будемо займатися рядами виду

, (1)

де - комплексні числа.

Поняття збіжності і розбіжності таких рядів вводяться так само як і в дійсному аналізі. Ясно, що з таким рядом завжди будуть пов’язані 2 ряди дійсних чисел:

та () (2)

Легко довести, що справедливий такий факт:

Для того, щоб ряд (1) був збіжним необхідно і достатньо, щоб були збіжними обидва ряди (2).

У зв’язку з цим твердженням, ми помічаємо, що для вирішення проблеми збіжності ряду (1) ми можемо використовувати всі ознаки збіжності рядів з дійсного аналізу. А раз так, то очевидно над рядами виду (1) можна здійснювати операції додавання і множення на число.

Як і в дійсному аналізі, тут також розглядають абсолютно та умовно збіжні ряди.

Означення. Ряд (1) називається абсолютно збіжним, якщо збіжним є ряд . (3)

Я

кщо ряд (3) розбіжний, а ряд (1) збіжний, то ряд (1) називають умовно збіжним.

Зауважимо, що із збіжності ряду (3) випливає збіжність ряду (1). Таким чином для перевірки збіжності ряду (1) інколи можна перевіряти на збіжність ряд (3). У випадку негативної відповіді про збіжність ряду (3) треба безпосередньо працювати з рядами (1) або (2).

Наступна ознака дозволяє інколи одержувати позитивний результат відносно збіжності ряду (1) у випадках, коли ряд (3) розбіжний, не вдаючись до рядів (2).

Теорема (Ознака Абеля-Діріхле)

Нехай маємо ряд

. (4)

Якщо

1) ,

2),

3) збіжний ряд, тоді ряд (4) також збіжний.

Доведення цієї теореми одержується з допомогою перетворення Абеля. Добре було б одержати це доведення.

Використовуючи викладки, близькі до тих, які ми мали в дійсному аналізі, отримаємо:

Члени абсолютно збіжного ряду (1) можна довільним чином групувати переставляти місцями. Це на збіжність ряду не вплине.

Є суттєвий зв’язок між абсолютною збіжністю ряду (1) і абсолютною збіжністю рядів (2):

Для того, щоб ряд (1) був абсолютно збіжним, необхідно і достатньо, щоб були абсолютно збіжними ряди (2).

Це твердження випливає з таких нерівностей

, , .

З дійсного аналізу ми знаємо, що добуток двох рядів за Коші збіжний до добутку сум цих рядів, якщо хоча б один з цих рядів збіжний абсолютно.

Нагадаємо, що якщо ми маємо ряд

(5)

то добутком за Коші рядів (1) і (5) буде ряд

, (6)

де .

Відмітимо таке твердження:

Якщо ряди (1) і (5) абсолютно збіжні відповідно до чисел і , то їх добуток (ряд (6)) абсолютно збіжний до числа .

§5 Комплекснозначні функції комплексного аргументу та деякі їх властивості

Тут ми будемо займатися такими функціями.

Означення. Комплекснозначною функцією комплексного аргументу називатимемо закон, який кожному комплексному числу з деякої множини ставить у відповідність хоча б одне комплексне число з іншої множини .

Приклад.

Ми знаємо, що кожному комплексному числу відповідає коренів -го степеня з цього числа (за винятком двох точок: 0 і , яким відповідає єдина точка з розширеної комплексної площини).

Таким чином, тут нам зустрічатимуться так звані многозначні функції (тобто такі, що існує хоча б одна точка з області визначення, якій відповідає більше, ніж одна точка з множини значень).

Якщо кожній точці з множини ставиться у відповідність єдина точка з множини , то таку функцію називають однозначною.

Для того, щоб можна було використовувати ідеї з дійсного аналізу для функцій, тут ми при роботі з многозначними функціями виділятимемо їх так звані однозначні вітки (в дійсному аналізі ми ще в школі принаймні 1 раз таке виділення робили, а саме: запис береться зі знаком „+”).

Нехай ми маємо деяку однозначну функцію . Підставивши замість , , а замість і виділивши дійсну і уявну частину, комплексне число можна записати так: , де , - дійсно значні функції двох дійсних змінних.

Таким чином для того, щоб задати комплекснозначну функцію комплексного аргументу достатньо задати пару дійснозначних функцій 2-ох дійсних змінних.

Приклад. , .

Для однозначних функцій в комплексній області введемо поняття границі, неперервності і т. д. (можна сказати, що така функція – це функція, яка діє з простору в ). Нехай маємо однозначну функцію і точку , яка є граничною для області визначення цієї функції.

Означення. Число є границею цієї функції і записується , якщо

, : .

Околи тут беруться на площині.

Це означення можна переписати так: , якщо

, : .

З вище сказаного і з цих означень випливає:

Для того, щоб щоб функції і , як функції двох дійсних змінних мали границі відповідно і , коли точка .

Оскільки означення границі функції ідентичне відповідному означенню з дійсного аналізу, то міркування проведені там можуть бути перенесені сюди і ми матимемо наступні факти:

1. Якщо існує границя функції в точці, то вона єдина;

2. Справедливі теореми про арифметичні операції над границями.

Відмітимо, що напевно теореми з дійсного аналізу, де є порівняння значень функції не переносяться на комплексний аналіз, бо нема порівняння комплексних чисел.

Чи можна стверджувати, що якщо ,то

1) ,

2) ,

3) ?

Спробуйте відповісти на ці питання самостійно.

Зрозуміло, що поняття границі функції комплексної змінної можна ввести з допомогою означення Гейне, з якого як і в дійсному аналізі випливає, що для того, щоб якась функція в точці границі не мала, достатньо вказати хоча б два напрямки прямування до таких, щоб послідовності відповідних значень функції по кожному з цих напрямків мали різні границі. Зауважимо, що шляхів прямування до тут є набагато більше, ніж в дійсному аналізі і значить вимога до функції комплексної змінної, щоб вона мала в якійсь точці границю швидше за все через це є більш жорсткою, ніж аналогічна вимога в дійсному аналізі.

Аналогічно як і в дійсному аналізі можна ввести поняття неперервності функції.

Означення. Якщо точка є граничною для області визначення функції, то кажуть, що функція неперервна в точці , якщо . В протилежному випадку таку точку називають точкою розриву.

З цього означення , використовуючи означення Коші і Гейне границі функції, одержимо означення неперервності функції за Коші і Гейне, де вже не вимагатиметься, щоб точка була граничною.

Ясно, що арифметичні операції над неперервними функціями тут теж можна здійснювати.

Справедливе твердження:

Для неперервності функції в точці необхідно і достатньо, щоб були неперервними функції і в точці .

Очевидно на наш випадок переносяться і деякі теореми з дійсного аналізу про властивості неперервних функцій.

Теорема 1. ( аналог теореми Вейєрштрасса 1)

Якщо функція неперервна на замкненій і обмеженій множині (комплексних чисел), то вона обмежена на ній, тобто

: .

Теорема 2. (аналог теореми Вейєрштрасса 2)

Якщо функція неперервна на замкненій і обмеженій множині комплексних чисел, то її модуль на цій множині досягає найбільшого та найменшого значень.

Ясно, що ці дві теореми легко доводяться із застосуванням відомих результатів з функціонального аналізу (відображення компактів).

Очевидно, що теорема Больцано-Коші напряму на комплексно-значні функції не перенесуться (бо не можна порівнювати комплексні числа, що є значеннями цієї функції). Проте можна надіятися, що ця теорема буде вірною в дещо звуженому вигляді.

Теорема. (аналог Больцано-Коші )

Нехай − деяка неперервна крива в комплексній - площині і ця крива є замкненою множиною. Якщо дійсно-значна функція неперервна на цій кривій і на кінцях цієї кривої приймає різні дійсні значення і , то вона прийматиме в точках цієї кривої всі проміжні значення, які знаходяться між числами і . Тобто на кривій знайдеться точка , що .

Зауважимо, що тут часто буде використовуватись відома з дійсного аналізу

Теорема. (Больцано-Вейєрштрасса)

Із всякої обмеженої послідовності комплексних чисел завжди можна виділити збіжну підпослідовність.

Зрозуміло, що на такі комплексно-значні функції комплексного аргументу можна перенести поняття рівномірної неперервності.

Означення. Функція називається рівномірно неперервною на деякій множині комплексних чисел, якщо

, : : .

З використанням функціонального аналізу переконуємося, що і для комплексно значних функцій комплексного аргументу справедлива

Теорема. (Кантора)

Якщо функція неперервна на замкненій і обмеженій множині комплексних чисел, то вона там і рівномірно неперервна.