§2. Теорема про лишки та її застосування. Обчислення лишків

В цьому параграфі ми, використовуючи попередні ідеї, покажемо як теорія рядів Лорана і особливих точок дає можливість обчислювати інтеграли в комплексній, і не тільки, області.

Нехай деяка область і − функція, яка аналітична в ній, за винятком хіба що ізольованих особливих точок. В області проведемо замкнену криву , яка не проходить через жодну з особливих точок і у внутрішності кривої є особливі точки цієї функції. Можна легко показати, що тих особливих точок буде скінченна кількість, бо в протилежному випадку з того, що ця внутрішність є обмеженою множиною випливає, що там існує така точка, яка буде граничною для цієї множини, а отже, і особливою, але вже не ізольованою. Неізольованих особливих точок в області немає.

Поставимо перед собою задачу: обчислити інтеграл від функції по цьому замкнутому жордановому контурі .

.

Опишемо навколо кожної із особливих точок, що лежать всередині кривої , кола. Причому всі ці кола належать області аналітичності функції (тобто не проходять через особливі точки), лежать всередині кривої і всі вони лежать зовні інших. Радіуси цих кіл довільні. (Див. рис. 32)

Тоді за інтегральною теоремою Коші для системи контурів, умови якої тут виконані, одержимо, що

,

де − це кола, про які говорилося вище. Нехай для конкретності − це коло з центром в точці і радіусом (− якась особлива точка). Обчислимо один із інтегралів . Оскільки в кільці , функція аналітична, то її тут можна розкласти в ряд Лорана, тому

.

Оскільки − це коло, яке належить області аналітичності або кільцю, де має місце розклад в ряд Лорана, а всередині того кільця ряд Лорана збігається рівномірно, то будемо мати:

.

Обчислимо , де Зробивши в останньому інтегралі таку заміну , будемо мати,

.

Аналогічно показуємо, що , де , теж дорівнюватиме нулю.

Таким чином, бачимо, що всі інтеграли, крім того, що відповідає , дорівнюють 0. При будемо мати,

, а значить .

Отже, ми отримали, що

.

Коефіцієнт при в розкладі функції в ряд Лорана по степенях назвемо лишком функції в точці . І записуватимемо це так .

Отже, вище ми довели таке твердження

Теорема. (про лишки)

Інтеграл по замкненій спрямлюваній кривій , що належить області, в якій функція однозначна і аналітична, за винятком ізольованих особливих точок, і яка не проходить через жодну з них, дорівнює добутку на суму лишків цієї функції відносно всіх тих особливих точок, які лежать всередині області, що обмежується кривою .

Ця, відома в сучасній математиці теорема, є достатньо ефективною для обчислення інтегралів, якщо буде відомо як без розкладу в ряд Лорана знайти лишки функції відносно тих чи інших особливих точок. Нажаль для істотно особливої точки чогось вартого уваги, крім вже вивченого, для пошуку лишку ми не скажемо, то для полюсів будуть прості прийоми відшукання лишків. Справді,

Нехай спочатку − простий полюс. Це означає, що в околі цієї точки ряд Лорана має вигляд:

Звідси маємо

.

Отже, у випадку простого полюса ми маємо формулу:

.

Розглянемо один важливий частковий випадок простого полюса. Нехай і , , . Це все означатиме, що точка є для нашої функції простим полюсом. Тоді будемо мати,

.

Отже, якщо функцію можна зобразити у вигляді, описаному вище, то

.

Нехай тепер точка − -кратний полюс функції . Тоді, як ми знаємо, в околі цієї точки дану функцією можна розкласти в ряд Лорана,

Після -го диференціювання одержимо:

Перейшовши в останній рівності до границі, одержимо, що в цьому випадку лишок (відносно -кратного полюса) функції шукається за формулою:

.

Розглянемо деякі застосування теореми про лишки. Почнемо із обчислення невласних інтегралів, підінтегральні функції яких на дійсній осі не мають особливих точок (невласні інтеграли на дійсній прямій). Нехай маємо , де і − многочлени, причому многочлен знаменника має степінь більший від степеня многочлена чисельника хоча б на 2 одиниці, крім того знаменник ніде на числовій осі не перетворюється в 0. Зрозуміло, що функція має особливі точки і вони будуть полюсами цього дробу, які не лежатимуть, згідно умови, на осі , а отже, вони будуть знаходитися у верхній чи нижній півплощині (або там, і там). Розглянемо півкола з центром в точці 0, радіуси яких більші за відстань від точки 0 до „найдальшого” у верхній півплощині з полюсів цієї функції і ці півкола теж розглядатимемо у верхній півплощині (див. рис. 33). Тоді будемо мати

. (1)

В останній рівності сума береться по тих полюсах , які лежать у верхній півплощині. Проаналізуємо інтеграл зліва в рівності (1), де − півколо АСВОА. Будемо мати за адитивністю,

. (2)

Оцінимо 2-й з інтегралів справа в рівності (2). Для його підінтегральної функції маємо,

.

Оскільки величина при прямує до 1, то ця величина буде обмеженою в деякому околі нескінченно віддаленої точки. Тобто

, де якесь число.

Що стосується множника, який передує цій величині, то для будемо мати, що

,

бо . Отже, ми одержали наступне: для всіх , починаючи з деякого, якщо , то

,

де . Тепер вже можна оцінити інтеграл

,

коли . Звідси, перейшовши до границі в рівності (2), одержуємо, що

.

Отже, і в рівності (1) можемо теж перейти до границі при . Ми довели, що границя лівої частини буде існувати і вона дорівнює невласному інтегралу, а права частина від не залежить, тому,

,

де − полюси , що лежать у верхній півплощині.

Приклад. Обчислити інтеграл .

Функція має такі прості полюси: , , з яких у верхній півплощині лежать та . Тоді згідно вище сказаного будемо мати, що

.

Знайдемо

,

.

Тоді .

Вкажемо ще на одне важливе застосування теорії лишків.