Доведення

Візьмемо і проведемо коло так, щоб воно теж належало кільцю. Проведемо в кільці два кола з центром в точці і радіусами і ( і ) так, щоб між тими двома колами лежало коло і всі ці три кола між собою спільних точок не мали (див. рис. 30). Розглянемо функцію , яка буде аналітичною на всьому кільці , крім точки . Застосуємо до цієї функції інтегральну теорему Коші для системи контурів , , . Зауважимо, що умови теореми для цієї функції будуть виконані. Згідно неї будемо мати,

,

причому всі криві проходяться в додатному напрямку. Звідси за інтегральною формулою Коші останню рівність можна переписати так:

(3)

Займемося інтегралом . Функцію , що є частиною підінтегральної функції, перетворимо наступним чином,

(*)

Оскільки , то з рівності (*), скориставшись сумою геометричної прогресії, будемо мати,

На колі мажорантою останнього ряду є збіжна знакододатна геометрична прогресія. Тоді останній ряд збігається на колі рівномірно і значить оскільки є функція обмежена на цьому колі, то після домноження останньої рівності на цю функцію ми отримаємо ряд, який також буде рівномірно збіжним на колі , а значить його почленно можна інтегрувати. Проінтегрувавши його, будемо мати,

, де ()

. (4)

Далі розглянемо другий інтеграл рівності (3) . Для функції будемо мати,

і оскільки , то міркуючи далі так, як і в попередньому інтегралі, будемо мати:

, де

. (5)

З рівностей (), (4), (5) будемо мати, що , де визначається для натурального формулою (4), а для від’ємного – формулою (5). Таким чином, ми встановили розклад аналітичної функції в ряд Лорана, коефіцієнти якого шукаються за формулами (4) і (5). Незручність полягає в тому, що ці коефіцієнти при натуральних степенях і при від’ємних степенях шукаються за різними формулами. Проте за інтегральною теоремою Коші для системи контурів легко показати, що кожен із інтегралів (4) і (5) будуть можна обчислювати інтегруючи по колу і . Отже, для (4) і (5) можна написати такі формули:

, . (6)

Теорема доведена.

Розділ 5. Лишки та їх застосування

§1 Особливі точки аналітичної функції та їх класифікація

Означення. Точка називається ізольованою особливою точкою аналітичної функції, якщо існує деякий окіл цієї точки, в якому ця функція аналітична всюди крім точки .

Так, наприклад, точка є особливою точкою для функцій , , . Інтуїтивно можна відчути, що особливості точки 0 для кожної з цих 3-х функцій різні, а отже, можна передбачити, що і особливі точки якось (подібно до точок розриву неперервної функції ) класифікуються. Виявляється, що апаратом для цієї класифікації є ряди Лорана.

Означення 1. Точка називається правильною або усувною особливою точкою функції , якщо існує окіл цієї точки і аналітична в ньому функція , яка співпадає з функцією в цьому околі точки , за винятком точки .

Розглянемо функцію . Оскільки для , а останній степеневий ряд задає аналітичну на всій площині функцію, яка співпадає з нашою у всій проколеній в початку координат площині, то згідно нашого означення точка є усувною особливою точкою, яка зникає, якщо цю функцію доозначити, поклавши в точці значення функції рівне 1. Використовуючи цей приклад, ми можемо сказати, що і в загальному випадку особливість в усувній особливій точці зникає, якщо покласти значення функції в цій точці .

Наступна теорема характеризує поведінку функції в околі усувної особливої точки.

Теорема 1. Для того, щоб точка була правильною для аналітичної функції необхідно і достатньо, щоб існував окіл цієї точки, в якому ця функція обмежена.