
- •П.1 Логарифмічна функція і її властивості ………………………………… 48
- •Розділ 1. Вступні зауваження і факти
- •§1. Комплексні числа. Операції над комплексними числами
- •§2. Збіжність послідовностей комплексних чисел
- •§3 Нескінченно віддалена точка. Розширена комплексна площина. Стереографічна проекція
- •§4 Ряди комплексних чисел
- •§5 Комплекснозначні функції комплексного аргументу та деякі їх властивості
- •Розділ 2. Похідна функції комплексного аргументу. Аналітичні функції
- •§1 Похідна функції комплексної змінної. Критерій її існування
- •Доведення
- •§2 Геометричний зміст аргументу і модуля похідної
- •§3 Дробово-лінійна функція. Властивості і відображення здійснювані нею
- •§4 Експоненціальна і тригонометрична функції в комплексній області
- •П.1 Логарифмічна функція і її властивості
- •§5 Виділення однозначних віток многозначної функції
- •§6 Показникова та степенева функції в комплексній області
- •Розділ 3. Інтеграл в комплексній області
- •§1 Означення інтеграла від функції комплексної змінної та його властивості
- •§2 Інтегральна теорема Коші
- •Доведення
- •Доведення
- •§3 Інтегральна формула Коші та наслідки з неї
- •Доведення
- •Доведення
- •Розділ 4. Функціональні ряди в комплексній області
- •§1 Збіжність та рівномірна збіжність функціональних рядів в комплексній області. Теорема Вейєрштрасса про рівномірно збіжні ряди аналітичних функцій
- •Доведення
- •§2 Степеневі ряди в комплексній області
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •§3 Ряди Лорана
- •Доведення
- •Розділ 5. Лишки та їх застосування
- •§1 Особливі точки аналітичної функції та їх класифікація
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •§2. Теорема про лишки та її застосування. Обчислення лишків
- •§3 Принцип аргументу
- •Доведення
- •§4 Поняття про цілу функцію та лишки відносно нескінченно віддаленої точки
- •Висновок
- •Список використаної літератури:
Доведення
Припустимо,
що це не так. Тобто існує точка
:
і для
.
Тоді остання нерівність буде виконуватися
в якомусь околі
точки
,
який попадає в область
.
Зрозуміло, що
,
бо в протилежному випадку ми мали б, що
в околі
і за тільки що доведеною теоремою
єдиності ми мали б, що
в області
,
що ми заперечуємо. Покажемо зараз, що у
всіх точках околу
.
Припустимо, що це не так, тобто існує
точка
:
,
.
Розглянемо коло
з центром в точці
.
Оскільки
є функція неперервна в області
(бо функція
аналітична тут), то цей модуль є неперервною
функцією і на колі
,
а значить і в точці
.
Отже, ми можемо знайти на колі
дугу
,
яка містить точку
,
у всіх точках якої
.
Оскільки ця дуга є обмеженою і замкненою
множиною (тобто компактом в
),
то на цій дузі існує точка, в якій функція
набирає найбільшого із значень, які
вона приймає в точках цієї дуги, і
оскільки ця точка належить дузі кола
,
а у всіх точках дуги
,
то цей максимум на даній дузі буде якесь
число
,
.
З рівності:
.
(1)
Звідси будемо мати,
(тут
при
,
описує
дугу
).
Одержане
протиріччя підтверджує, що такої точки
,
де б
не
має, зрозуміло, що і
там теж не може бути. Отже, ми довели:
.
Присутність в останній рівності модуля
ще поки що не означає, що функція
.
Нехай
і значить для
.
(2)
З
аналітичності функції
випливає існування всіх частинних
похідних
і
в цьому околі. А значить рівність (2)
можна диференціювати. Про диференціюємо
рівність (2) по
і по
.
Будемо мати,
,
.
Об’єднаємо ці рівності в систему
.
Оскільки
одержана система матиме ненульові
розв’язки
(бо
),
то головний визначник системи дорівнює
0, тобто
Звідси, врахувавши умови Коші-Рімана, отримуємо,
,
або
і аналогічно
.
З
останніх рівностей маємо:
,
,
а це означає, що функція
в
околі
,
значить функція
на всій області
є константою, що не так. Отже, припущення
про те, що є така точка
,
в якій модуль функції
набирає найбільшого значення, невірне.
А отже, вірне твердження нашої теореми.
Теорема
доведена.
Аналогічний
результат для мінімуму модуля невірний,
бо аналітична в області функція може
мати нулі в цій області і звичайно в цих
точках модуль її набиратиме найменшого
значення (0). Якщо функція
аналітична в області
і не має нулів в цій області, то легко
обґрунтувати, що її модуль в цій області
не матиме і мінімального значення
(достатньо перейти до функції
і за доведеним раніше її модуль в цій
області не матиме максимального
значення). Таким чином, із всього сказаного
вище випливає, що якщо функція
неперервна в замкненій і обмеженій
області
і аналітична в області
,
то будемо мати: оскільки
-
компакт і функція
неперервна на цьому компакті, то цей
модуль досягає на
свого найбільшого значення (теорема
Вейєрштрасса). Оскільки з принципу
максимуму модуля випливає, що ця точка,
де відбувається це досягання, не може
належати області
,
то зрозуміло, що цього максимуму модуль
досягає на межі області. (Якщо до того
ж
в області
,
то цей модуль досягає і свого мінімуму
на межі області
).
Використовуючи цей факт, легко одержуємо, наступний цікавий факт:
Якщо
функція
аналітична в області
і в точках межі цієї області її модуль
зберігає стале значення, то всередині
цієї області існуватиме хоча б один
нуль функції
.
Справді,
якщо припустити, що нулів нема, то
і максимуму і мінімуму досягатиме на
межі цієї області, а там всі значення
рівні, отже,
в області, а значить (див. Заключну
частину доведення принципу максимуму
модуля) і
в області, що ми не передбачаємо.
З допомогою щойно одержаного результату доводиться наступна
Теорема. (Основна теорема алгебри)
Кожен многочлен в полі комплексних чисел має хоча б один корінь.