Доведення

Візьмемо . Очевидно, що існує коло таке, що точка лежить в середині цього кола (не на колі). З того, що функція аналітична в області і з того як розміщується точка відносно кола (і де лежить )за інтегральною формулою Коші будемо мати,

(1)

Розглянемо функцію . Для неї , , а раз так, то остання функція є сумою геометричної прогресії із знаменником і тому будемо мати,

, (2)

причому цей ряд на колі є рівномірно збіжний. Розглянемо функцію на колі . Для неї справедлива нерівність,

,

де , , а отже, ця функція є обмеженою на колі . Значить ряд (2) можна на неї домножити і він залишиться на рівномірно збіжним. Звідси і з рівності (1), підставивши в інтеграл (1) замість підінтегральної функції ряд, який одержується з (2) домноженням на і можливістю почленного інтегрування ряду будемо мати,

,

де

(3)

і отже, потрібний нам розклад в крузі одержаний. Формула (3) дає можливість обчислювати коефіцієнти цього степеневого ряду. Теорема доведена.

Таким чином теорема 2, взагалі кажучи, не тільки стверджує можливість розкладу в степеневий ряд у відповідному крузі, але й формулою (3) дає можливість знаходити коефіцієнти розкладу. (Тут коло − довільне коло з центром в точці , яке лежить в крузі ). Помноживши обидві частини формули (3) на ми, скориставшись інтегральною формулою Коші отримаємо:

. (4)

Це ще одна формула для обчислення коефіцієнтів розкладу. Але на практиці легко користуватися формулами (3), коли похідна довільного порядку легко шукається.

Розклади синуса, косинуса і експоненти ми мали з самого означення. Використовуючи формулу (4), можна одержати розклади довільної вітки по степенях , а звідси розклад якої-небудь вітки по степенях . Аналогічно можна зробити і з функцією (з якою-небудь її віткою) по степенях , а звідси одержимо розклад по степенях і звідси одержимо також біноміальний ряд.

Зауважимо, що і в комплексному аналізі при розкладі функції в степеневий ряд теж переважно користуються не формулами (3) і (4), а відомими класичними розкладами і якимось штучними прийомами.

Повернемося знову до доведеної вище теореми. По-перше, якщо областю аналітичності є вся комплексна площина, то . На практиці, якщо область аналітичності не вся комплексна площина, то практично означає відстань від точки до найближчої особливої точки цієї функції. По-друге зауважимо, що одержані результати дозволяють прояснити ситуацію, чому деякі функції на дійсній прямій розкладаються в ряд на якомусь інтервалі скінченої довжини, хоча вони на всій прямій мають гарні властивості. Так, наприклад, функція і цей розклад має місце тільки на інтервалі , хоча сама функція є «гарною» на всій числовій прямій. Пояснює це явище вихід в комплексну область, на якій функція має на колі дві особливі точки та . Повернемося тепер до формули (3). Будемо мати,

.

Ми отримали, що для

. (5)

Нерівності (5) називають нерівностями Коші для коефіцієнтів степеневого ряду. З цих нерівностей в якості наслідку випливає

Теорема 3. (Ліувіль)

Кожна аналітична і обмежена на всій комплексній площині функція є константою.