Доведення

Візьмемо . Позначимо через - коло з центром в точці і радіусом , яке повністю належить області (,). (див. рис. 28) З умови теореми маємо, що цей ряд в області збіжний до деякої функції . Тобто

, (4) . Очевидно, що цей ряд рівномірно збіжний на колі , бо це замкнена і обмежена множина. Помножимо рівність (4) на таку величину , де − довільна точка з . Будемо мати:

.

Для того, щоб довести рівномірну збіжність останнього ряду, достатньо довести, що функція, на яку ми домножували рівність (4), є обмеженою по.

Оцінимо величину

, , .

Звідси маємо, що останній ряд рівномірно збіжний на колі , а значить його можна почленно інтегрувати, бо члени цього ряду є на колі неперервними функціями. Отримаємо,

(5)

Запишемо як виглядатиме рівність (5) при :

. (6)

Оскільки − аналітичні в області функції і − замкнена спрямлювана крива, яка повністю належить області разом з внутрішністю, яку вона обмежує і точка належить внутрішності кола , то за інтегральною формулою Коші рівність (6) можна переписати так:

.

Оскільки функція неперервна на кривій (це випливає з теореми про неперервність суми рівномірно збіжного ряду неперервних функцій), то інтеграл зліва в останній рівності є інтегралом типу Коші. А за доведеним раніше функція, що дорівнює такому інтегралу, є безліч разів диференційованою, а отже, аналітичною в . Отже, функція аналітична в крузі . Ми довели, що для існує окіл, в кожній точці якого функція диференційована. Значить − аналітична в області . Оскільки тепер ми вже знаємо, що функція аналітична в області, то ліва частина рівності (5) є похідною -го порядку від функції . Кожен доданок справа в цій рівності теж означатиме теж саме, бо за умовою аналітичні в області. Таким чином рівність (5) можна переписати у вигляді:

. (7)

Залишається довести, що останній ряд збігається рівномірно всередині області . Для цього згідно приведеного вище критерію достатньо показати, що для існує окіл, в якому цей ряд збіжний рівномірно. Візьмемо і окіл цієї точки (: ). Оскільки ряд (2) збігається рівномірно всередині області , то він збігається рівномірно на кривій . А це означає, що , : , . Оцінимо

, . Це означає, що ряд (7) збігається рівномірно в околі , а значить в середині області . Теорема доведена.

В зв’язку з доведеною теоремою розглянемо наступні два приклади: 1-й з них – це так звана функція Вейєрштрасса

Приклад 1. , де , − непарне натуральне число.

Зрозуміло, що члени цього ряду є функції аналітичні на всій комплексній площині. Цей ряд рівномірно збіжний на всій числовій прямій (бо члени цього ряду мажоруються збіжною геометричною прогресією ). Як довів Вейєрштрасс, ця функція недиференційована в жодній точці числової осі.

Приклад 2. Розглянемо ряд .

і отже, , . Отже, цей ряд збіжний і оскільки , , то він тут на всій числовій осі і рівномірно збіжний. Ясно, що члени цього ряду є функції аналітичні на всій комплексній площині і сума цього ряду теж є аналітичною функцією на всій комплексній площині. Проте, якщо ми продиференціюємо цей ряд, то одержимо:

, .

Для ця послідовність буде розбіжна і отже, ряд буде розбіжним, а значить диференціювати приведений вище ряд не можна.

Як випливає з теореми Вейєрштрасса в обох прикладах нема області в середині якої обидва ці ряди були б рівномірно збіжними. І отже, ці приклади показують, що рівномірна збіжність ряду в середині області є суттєвою умовою цієї теореми.