
- •П.1 Логарифмічна функція і її властивості ………………………………… 48
- •Розділ 1. Вступні зауваження і факти
- •§1. Комплексні числа. Операції над комплексними числами
- •§2. Збіжність послідовностей комплексних чисел
- •§3 Нескінченно віддалена точка. Розширена комплексна площина. Стереографічна проекція
- •§4 Ряди комплексних чисел
- •§5 Комплекснозначні функції комплексного аргументу та деякі їх властивості
- •Розділ 2. Похідна функції комплексного аргументу. Аналітичні функції
- •§1 Похідна функції комплексної змінної. Критерій її існування
- •Доведення
- •§2 Геометричний зміст аргументу і модуля похідної
- •§3 Дробово-лінійна функція. Властивості і відображення здійснювані нею
- •§4 Експоненціальна і тригонометрична функції в комплексній області
- •П.1 Логарифмічна функція і її властивості
- •§5 Виділення однозначних віток многозначної функції
- •§6 Показникова та степенева функції в комплексній області
- •Розділ 3. Інтеграл в комплексній області
- •§1 Означення інтеграла від функції комплексної змінної та його властивості
- •§2 Інтегральна теорема Коші
- •Доведення
- •Доведення
- •§3 Інтегральна формула Коші та наслідки з неї
- •Доведення
- •Доведення
- •Розділ 4. Функціональні ряди в комплексній області
- •§1 Збіжність та рівномірна збіжність функціональних рядів в комплексній області. Теорема Вейєрштрасса про рівномірно збіжні ряди аналітичних функцій
- •Доведення
- •§2 Степеневі ряди в комплексній області
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •§3 Ряди Лорана
- •Доведення
- •Розділ 5. Лишки та їх застосування
- •§1 Особливі точки аналітичної функції та їх класифікація
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •§2. Теорема про лишки та її застосування. Обчислення лишків
- •§3 Принцип аргументу
- •Доведення
- •§4 Поняття про цілу функцію та лишки відносно нескінченно віддаленої точки
- •Висновок
- •Список використаної літератури:
Доведення
Дивлячись
на доведення інтегральної теореми Коші
робимо висновок, що такий інтеграл
дорівнює 0 по довільному спрямлюваному
контуру, який належить області
.
Тоді звідси матимемо, що
буде однозначною в області
функцією, причому із неперервності
функції
випливає диференційованість функції
і рівність
.
Значить
аналітична в цій області (бо вона тут
диференційовна), тому за наслідком 3 її
похідна, яка дорівнює
,
теж аналітична в цій області. Теорема
доведена.
Нехай
знову
−
функція аналітична в деякій області
.
Тоді при вказаних в інтегральній теоремі
Коші, умовах на
,
матиме місце формула (6). Будемо вважати,
що
−
це коло
.
Як і раніше
.
Тоді з (6) матимемо,
.
Нерівності
(
)
називають нерівностями
Коші.
З останньої нерівності матимемо:
(7)
Позначимо
через
−
відстань
від точки
до
межі області аналітичності. Тоді
зрозуміло, що в попередніх викладках
довільне але менше за
.
Візьмемо таке
і зафіксуємо його. Тоді величина
теж буде фіксованою і при
.
Звідси і нерівності (7) будемо мати,
.
Оскільки,
остання нерівність правильна для
,
то з неї отримаємо,
.
Ми
отримали співвідношення між величиною
цієї верхньої границі і відстанню від
точки
до межі області аналітичності функції
.
Зокрема ця верхня границя не може бути
великою, якщо відстань
теж є великою і, якщо функція
є
аналітичною на всій площині, то
і значить розглядувана верхня границя
дорівнює 0. Відмітимо до слова, що функції
аналітичні на всій комплексній площині
називаються цілими.
Розділ 4. Функціональні ряди в комплексній області
§1 Збіжність та рівномірна збіжність функціональних рядів в комплексній області. Теорема Вейєрштрасса про рівномірно збіжні ряди аналітичних функцій
Означення 1. Ряд, членами якого є функції комплексного аргументу називається комплексно значним рядом
(1)
Означення
2.
Множина
,
в кожній точці якої ряд (1) збіжний,
називається областю
збіжності
цього ряду. Зрозуміло, що сумою ряду (1)
буде деяка функція
,
яка задана в області
.
Очевидно те, що функція
є сумою ряду (1) на мові
можна записати так:
,
де
.
Аналогічно,
як і в дійсному аналізі, якщо в, написаному
вище, означенні збіжності
залежатиме тільки від
і не залежатиме від
,
то такий ряд будемо називати рівномірно
збіжним
до функції
.
Означення
3.
Ряд (1) називається рівномірно збіжним
до суми
на множині
,
якщо
.
Зрозуміло,
що із рівномірної збіжності випливає
його звичайна чи поточкова збіжність,
але не навпаки. Як і в дійсному аналізі
можна довести, що ряд
збіжний до функції
в крузі
,
але він тут нерівномірно збіжний.
Як і в дійсному аналізі рівномірно збіжні ряди мають властивості, яких не мають поточково збіжні ряди. Зокрема
Теорема.
Якщо члени ряду (1) є неперервними на
деякій множині
функції і цей ряд збіжний на множині
рівномірно до деякої функції
,
то функція
буде неперервною.
Теорема.
Нехай члени ряду (1) є функції інтегровані
на деякій спрямлюваній кривій
і
ряд (1) рівномірно збіжний на цій кривій
до деякої функції
.
Тоді справедлива рівність
.
Зауважимо, що інколи корисною для теоретичних досліджень є
Теорема. (Критерій Коші рівномірної збіжності функціонального ряду)
Для
того, щоб ряд (1) був рівномірно збіжний
на деякій множині
необхідно і достатньо щоб
.
Тут
також має місце відома з дійсного аналізу
ознака Вейєрштрасса рівномірної
збіжності ряду, в якій для збіжності
ряду підшуковується мажорантний збіжний
числовий знакододатний ряд на множині
.
Як
виявляється в теорії аналітичних функцій
суттєву роль відіграє ще й так зване
поняття рівномірної збіжності всередині
області
.
Означення.
Ряд (1) називається рівномірно збіжним
всередині області
,
якщо він рівномірно збіжний на будь-якій
замкненій і обмеженій підмножині множини
.
Очевидно, що із рівномірної збіжності в області тривіально випливає рівномірна збіжність всередині області, але не навпаки. В цьому нас переконує геометрична прогресія, яка, як легко показати, рівномірно збіжна всередині одиничного круга, але не є рівномірно збіжною на всьому (відкритому) одиничному крузі.
Наступне твердження дає необхідні і достатні умови рівномірної збіжності ряду всередині деякої області.
Теорема. (Критерій рівномірної збіжності ряду всередині області)
Для
того, щоб ряд (1) був рівномірно збіжний
всередині області
необхідно і достатньо, щоб для
існував окіл, в якому цей ряд рівномірно
збіжний.
(Необхідність очевидна. Достатність доводиться методом від супротивного.)
Наступна теорема є в якійсь мірі перенесенням на комплексну площину відомої з дійсного аналізу тереми про почленне диференціювання функціонального ряду.
Теорема Вейєрштрасса. (про рівномірно збіжні ряди аналітичних функцій)
Нехай ряд
(2)
аналітичних
в області
функцій рівномірно збіжний всередині
цієї області. Тоді сума цього ряду
є функцією аналітичною в цій області і
ряд (2) можна почленно диференціювати в
області
довільну кількість разів, тобто
справедлива рівність
,
(3)