Розділ 3. Інтеграл в комплексній області

§1 Означення інтеграла від функції комплексної змінної та його властивості

Нехай − деяка спрямлювана крива в - площині і − деяка комплексно-значна функція комплексного аргументу. Крім цього нехай дана функція визначена на кривій . Спробуємо перенести на ці два об’єкти конструкцію, яка привела нас до криволінійного інтеграла 2-го роду. З цією метою візьмемо - розбиття кривої точками , , ,...,. На кожній з елементарних дуг візьмемо по точці і утворимо суму

,

яка називається інтегральною сумою для функції для кривої .

Означення. Якщо при прямуванні до 0 кроку розбиття кривої існуватиме границя цієї суми, яка не залежатиме ні від способу розбиття цієї кривої , ні від способу вибору точок на елементарних дугах, то її ми називатимемо інтегралом від функції комплексної змінної по кривій і позначатимемо .

Наявність вище одержаної рівності дозволяє нам стверджувати, що існування такого інтеграла зв’язане з існуванням 2-х наступних криволінійних інтегралів

і .

Як ми знаємо з теорії криволінійних інтегралів, останні два існують, якщо крива кусково-гладка, а функції і є неперервними на цій кривій. Оскільки неперервність функцій і рівносильна неперервності функції , то можна стверджувати:

Якщо функція неперервна на гладкій кривій ( , і − неперервні разом із своїми похідними на ), то існуватиме

Остання формула вирішує в багатьох випадках проблему обчислення інтеграла від функції комплексної змінної.

Розглянемо деякі властивості введеного вище інтеграла.

1. З’ясуємо чи тут має значення напрям проходження кривої . Простий аналіз означення інтеграла показує, що

.

Тобто при зміні напрямку інтегрування по кривій знак інтеграла змінюється на протилежний.

2. Якщо криву точками розбити на скінченну кількість кривих -х без внутрішніх спільних точок, то

.

3) .

4) Ця властивість дає можливість робити оцінки інтеграла від функції комплексної змінної:

, де − диференціал дуги.

Зауважимо, що справа стоїть криволінійний інтеграл 1-го роду. Доведення цієї нерівності одержується з самого означення інтеграла в комплексній області.

Часто ми будемо користуватися наслідком цієї нерівності:

) Якщо функція є обмеженою на кривій , тобто : , то , де − довжина кривої .

Що стосується відомої із дійсного аналізу теореми про середнє, то відповідь на те чи буде вона мати місце, буде дана дещо пізніше.

Зауважимо, що ми тут часто матимемо справу з інтегралом по замкненій кривій. Домовимося, що якщо не сказано в якому напрямку проходиться ця крива, то будемо брати той напрям, щоб область, яка обмежена цією кривою, залишалася зліва від спостерігача, що проходить криву.

Обчислимо декілька інтегралів від функції комплексної змінної:

1) .

Зауважимо, що величина цього інтеграла зовсім не залежить від кривої , а залежить від точок і , зокрема, якщо крива замкнена, то цей інтеграл дорівнює 0.

2)

.

Останню рівність одержимо, взявши - розбиття і в якості точок візьмемо праві (ліві) кінці дуг розбиття. З останньої рівності видно, що величина інтеграла не залежить від форми кривої, а залежить від початкової і кінцевої її точок. Якщо крива замкнена, то цей інтеграл теж рівний 0.

3)

,

нехай − коло з центром в точці і радіусом , тоді .