
- •П.1 Логарифмічна функція і її властивості ………………………………… 48
- •Розділ 1. Вступні зауваження і факти
- •§1. Комплексні числа. Операції над комплексними числами
- •§2. Збіжність послідовностей комплексних чисел
- •§3 Нескінченно віддалена точка. Розширена комплексна площина. Стереографічна проекція
- •§4 Ряди комплексних чисел
- •§5 Комплекснозначні функції комплексного аргументу та деякі їх властивості
- •Розділ 2. Похідна функції комплексного аргументу. Аналітичні функції
- •§1 Похідна функції комплексної змінної. Критерій її існування
- •Доведення
- •§2 Геометричний зміст аргументу і модуля похідної
- •§3 Дробово-лінійна функція. Властивості і відображення здійснювані нею
- •§4 Експоненціальна і тригонометрична функції в комплексній області
- •П.1 Логарифмічна функція і її властивості
- •§5 Виділення однозначних віток многозначної функції
- •§6 Показникова та степенева функції в комплексній області
- •Розділ 3. Інтеграл в комплексній області
- •§1 Означення інтеграла від функції комплексної змінної та його властивості
- •§2 Інтегральна теорема Коші
- •Доведення
- •Доведення
- •§3 Інтегральна формула Коші та наслідки з неї
- •Доведення
- •Доведення
- •Розділ 4. Функціональні ряди в комплексній області
- •§1 Збіжність та рівномірна збіжність функціональних рядів в комплексній області. Теорема Вейєрштрасса про рівномірно збіжні ряди аналітичних функцій
- •Доведення
- •§2 Степеневі ряди в комплексній області
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •§3 Ряди Лорана
- •Доведення
- •Розділ 5. Лишки та їх застосування
- •§1 Особливі точки аналітичної функції та їх класифікація
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •§2. Теорема про лишки та її застосування. Обчислення лишків
- •§3 Принцип аргументу
- •Доведення
- •§4 Поняття про цілу функцію та лишки відносно нескінченно віддаленої точки
- •Висновок
- •Список використаної літератури:
§5 Виділення однозначних віток многозначної функції
Приклад
софізму Бернуллі переконує нас в тому,
що оперування многозначними функціями
може привести до різноманітних проблем
і помилок. Таким чином, нам слід навчитись
як із многозначних функцій виділяти
однозначні вітки. Все, що ми тут зробимо
в загальному обґрунтовуватись не буде,
а те, що буде робитися для конформних
функцій буде випливати з природи
відображень, що здійснюються цими
функціями.
Нехай
ми маємо функцію
,
яка задана в області
-площини.
Часто ця область
буде співпадати зі всією розширеною
площиною. Припустимо, що область
вдалося розбити на області
,
,
,...,
так, що: 1) вони не мають спільних внутрішніх
точок, а тільки хіба що спільні межові
точки, 2) об’єднання їх дає область
,
3) відображення
кожну з цих областей взаємо однозначно
відображає на відповідно області
,
,
,...,
-
площини (часто, зокрема в прикладах, які
ми будемо застосовувати нижче всі
будуть співпадати між собою). Тоді
розглянемо обернену функцію
,
яка взагалі кажучи в
-
площині буде многозначною. Якщо ж ми
будемо цю функцію розглядати в області
і вимагати, щоб її значення попадали в
область
,
то так одержану функцію називають
однозначною
віткою
многозначної функції
.
Покажемо як все це працює на двох
прикладах:
-
Розглянемо функцію
.
Ми
знаємо про цю функцію, що вона кути
розхилом
з вершиною в початку координат
-
площини переводить в кути розхилом
з вершиною в початку координат
-
площини. А значить області
,
про які тільки що йшлося, будуються
так: в
-
площині проводимо промінь під кутом
до дійсної осі, від цього променя будуємо
інший під кутом
до цього променя і т.д. (рис. 17). Тоді це
відображення
кожну із областей
переведе на всю – площину з розрізом
по променю, який виходить з початку
координат під кутом
до дійсної осі. Причому це відображення
буде однолистним в кожній із областей
.
Області
,
про які йшлося вище, співпадають зі
всією площиною з розрізом по променю,
про який ми тільки що говорили. А це
означає, що якщо ми розглянемо функцію
в області
і поставимо вимогу, щоб значення
належали області
,
то ми вже тепер одержимо однозначну
функцію, яку ми назвемо однозначною
віткою многозначної функції
.
Її ми позначатимемо
.
Таким чином, ми бачимо, що можна виділити
для функції
однозначних віток.
Якщо ми зафіксуємо значення
в якійсь однозначній вітці і будемо
робити повний обхід точкою
навколо початку координат, то після
однократного обходу аргумент цього
числа збільшиться на
,
а отже, ми із значення в цій вітці
перейдемо до відповідного значення
наступної вітки. Коли ми зробимо таких
обходів навколо точки 0, то ми знову
повернемося до значення, з якого починали.
Точка, яка має таку властивість,
називається алгебраїчною точкою
розгалуження
-го порядку функції
.
Оскільки обхід навколо точки 0 є одночасно
і обходом навколо нескінченно віддаленої
точки, то ці точки є алгебраїчні точки
розгалуження функції
-го
порядку.
Підсумовуючи
сказане вище про функцію
,
можна зауважити, що
область
в
-
площині, в якій можна виділяти однозначні
вітки функції
,
повинна бути такою, щоб ми не могли в
цій області зробити повний оберт навколо
початку координат, а це можна робити
тоді, коли область
буде мати межу, що з’єднує
обидві точки розгалуження: це
може бути довільний промінь, який
виходить з початку координат або якась
гладка крива, яка з’єднує
точки 0 і
.
Всі
сказані вище ідеї можуть бути перенесені
на дещо більш загальні функції
і
.
Можна показати, що перша з них має точки
розгалуження
та
і отже область, в якій можна виділяти
однозначні вітки цієї функції, буде в
-
площині з розрізом по променю, який
виходить з точки
.
Друга з цих функцій буде мати точки
розгалуження
і
і отже, область
-
площини, де можна виділяти однозначні
вітки цієї функції, буде вся
-
площина з розрізом по напрямленому
відрізку, що з’єднує точки
і
.
Вище
ми працювали з окремими вітками
многозначної функції
.
Але, взагалі кажучи, кожна окрема вітка
многозначної функції не дає повного
уявлення про всю многозначну функцію.
Для того, щоб таке уявлення утворилося
і для того, щоб підвести многозначну
функцію під однозначну функцію
використовують так звані поверхні
Рімана. Вони будують зокрема під кожну
многозначну функцію, як буде видно після
побудови цієї поверхні для функції
.
Многозначна функція
взаємо однозначно відображає свою
поверхню Рімана на розширену
-
площину.
Побудуємо
поверхню Рімана для функції
.
Як ми знаємо ця функція є оберненою до
функції
.
Області однолистності функції в
-
площині побудуємо наступним чином: 1-й
промінь направимо по додатному напрямку
дійсної осі, а всі інші під кутом
до попереднього (див. рис. 18а).
Візьмемо
(
)
-площин:
(
),
(
),…,
(
),
які для наочності вважатимемо аркушами
паперу необмежених розмірів, і всі ці
площини розріжемо по додатній частині
дійсної осі, включаючи і точку
(на рис. 19 зображено три такі площини).
Цей розріз поділить кожну півплощину
на дві частини: нижню (
)
і верхню (
)
(
).
Тепер склеїмо всі півплощини
уздовж додатної частини дійсної осі
(включаючи і точку
)
так: нижню першої півплощини – з верхньою
частиною другої півплощини, нижню другої
півплощини – з верхньою частиною третьої
півплощини і т. д., нижню частину (
)-
ї півплощини – з верхньою частиною
-ї
півплощини і, нарешті, нижню частину
-ї
півплощини – з верхньою частиною першої
півплощини. Зауважимо, що коли перші
склеювань можна фактично здійснити, то
останнє ,
-не,
склеювання фактично здійснити не можна,
оскільки між верхньою частиною першої
півплощини і нижньою частиною
-ї
півплощини міститиметься
лист. Останнє склеювання треба розуміти
лише так, що в уяві ототожнюємо точки
додатної частини дійсної осі верхньої
частини першої півплощини і відповідні
точки додатної частини дійсної осі
нижньої частини
-ї
півплощини. В результаті такого склеювання
дістанемо замкнену
-
листу поверхню, яку називають рімановою
поверхнею функції
.
Рис.
19
Між
точками
-
площини і точками поверхні Рімана
функції
за допомогою рівності
здійснюється взаємно однозначна і
неперервна відповідність. Якщо точка
,
переходячи з області
в область
,
з
в
і т. д., опише замкнений контур навколо
початку координат, то точка
,
переходячи з одного листа ріманової
поверхні функції
на інший і побувавши, таким чином, на
всіх листах цієї ріманової поверхні,
опише також замкнений контур. Довільну
точку
ріманової поверхні ми можемо сполучити
неперервною кривою з довільною іншою
точкою
цієї поверхні. Якщо ці дві точки мають
один і той же афікс, то вони на рімановій
поверхні лежать одна над одною. Якщо на
рімановій поверхні виділити яку-небудь
область
,
що не містить частин. Які взаємно
накладаються, то для кожного
матимемо єдине значення
.
Множина всіх значень
для
у
-
площині утворює деяку область
.
Функція
відображує область
на область
взаємно однозначно і неперервно, і,
отже, можна говорити про певну вітку
функції
.
Побудуємо
тепер ріманову поверхню функції
,
оберненої до функції
.
Вище було з’ясовано, що функція
відображає взаємно однозначно і
неперервно кожну область
площини (
),
обмежену прямими
і
(
),
на область
,
яка складається з усіх точок
-площини,
які не належать від’ємній частині
дійсної осі (включаючи і точку
).
Візьмемо зчисленну множину екземплярів
-
площин, розмістивши їх у такому порядку:
.
Як і
вище, ці площини вважатимемо паперовими
аркушами необмежених розмірів. Розріжемо
їх по від’ємній частині дійсної осі
(включаючи і точку
).
Тоді кожна півплощина
буде поділеною на дві частини: нижню
(
)
і верхню (
).
Склеїмо всі ці півплощини уздовж
від’ємної частини дійсної осі так:
нижню частину півплощини
− з верхньою частиною півплощини
,
верхню частину півплощини
−
з нижньою частиною півплощини
,
нижню частину півплощини
− з верхньою частиною півплощини
,
верхню частину півплощини
− з нижньою частиною півплощини
і т. д. У результаті такого склеювання
дістанемо нескінченно листу поверхню,
яка називається рімановою поверхнею
функції
.
Між точками
-
площини і точками ріманової поверхні
функції
за допомогою рівності
здійснюється взаємно однозначна і
неперервна відповідність.