4.4 Практическое занятие № 4. Арифметические свойства пределов последовательностей. Монотонные последовательности. Вычисление пределов

Упражнение 4.1. Пусть , а последовательность расходится. Доказать, что последовательность расходится.

Доказательство:

Обозначим . Докажем расходимость последовательности методом от противного. Предположим, что сходится. Так как по условию , по теореме 4.1.1 последовательность определена, начиная с некоторого номера, и сходится. Но это противоречит условию. Следовательно, расходится.

Упражнение 4.2. Какие из следующих последовательностей монотонные, а какие строго монотонные:

1)

2)

3)

4) (целая часть );

5) -1, -1, -2, -2, -3, -3, …?

1) Данная последовательность строго возрастает, т.к.

для N.

2) Последовательность не является ни монотонной, ни строго монотонной, т.к., например , но

3) - убывающая последовательность, т.к. n = 1, 2, 3,… .

4) Последовательность - неубывающая, т.к. , n = 1, 2, 3,… и к тому же, например,

5) Данная последовательность невозрастающая, т.к. , n = 1, 2, 3,… и некоторые (например, и ) числа этой последовательности равны между собой.

Упражнение 4.3. Вычислить пределы.

1) -

.

Ответ:

2)

.

Ответ:

3)

.

Ответ:

4) .

Сумма арифметической прогрессии: .

.

Ответ: .

5) .

Сумма геометрической прогрессии: .

(т.к. при и при ).

Ответ: .

6)

.

Ответ: .

7)

.

Ответ: .

8) .

Ответ: .

Упражнение 4.4. Найти предел .

Обозначим . Будем искать в виде . Тогда

. Отсюда для всякого nN имеем

.

Приравнивая коэффициенты при равных степенях n в левой и правой частях равенства, получим:

Отсюда . Таким образом, для  nN имеем . Полагая , получим . Отсюда . Следовательно,

.

Итак, .

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения

1. Какие из следующих последовательностей монотонные? Строго монотонные? Ограниченные?

1)

2)

3)

4)

5)

2. Вычислить пределы:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

3. Найти предел: .

5 Лекция №5. Предел последовательности (окончание)

5.1 Принцип вложенных отрезков

Теорема 5.1.1. Пусть задана последовательность отрезков , вложенных друг в друга, то есть таких, что , с длинами, стремящимися к нулю, то есть при (см. рисунок 28).

Рисунок 28

Тогда существует, и притом единственная, точка c, одновременно принадлежащая всем отрезкам , то есть .

Доказательство:

Очевидно, что при любом заданном натуральном m. Это показывает, что последовательность чисел не убывает и ограничена сверху числом N. По теореме предыдущего параграфа, существует такое число c, что , причем . Так как в этих неравенствах натуральные n и m произвольные, значит, в частности, . Следовательно, , каково бы ни было N.

Теперь докажем, что найденная точка с – единственная. Допустим, что существует другая точка . Тогда , , откуда , но это противоречит тому, что . Отметим, что .

Замечание: В теореме существенно, что рассматриваются отрезки , а не интервалы.

Рассмотрим интервалы . Они будут вложены друг в друга, их длины , но нет ни одной точки, принадлежащей всем этим интервалам.

В самом деле, любая точка не принадлежит ни одному интервалу из . Если же , то .