3.2 Практическое занятие № 3. Предел числовой последовательности

Упражнение 3.1. Доказать, что .

1) .

а) Выберем произвольное .

б) Выясним, для каких членов последовательности выполняется неравенство

.

.

Значит, неравенство выполняется для всякого , если .

в) .

г) N

.

2) .

а) Выберем произвольное .

б) Выясним, для каких членов последовательности выполняется неравенство

.

.

Значит, неравенство выполняется для всякого , если .

в) .

г) N

.

3) .

Зададим произвольное и рассмотрим модуль разности

.

В соответствии с определением предела последовательности мы должны указать номер такой, что выполняется неравенство . Для отыскания номера решим последнее неравенство относительно n. Получим

.

(Мы взяли , т. к. число должно быть положительным.)

Из последнего неравенства следует, что в качестве можно взять целую часть числа ; .

В самом деле, если , то справедливо неравенство , а значит, выполняется и неравенство .

Итак, для произвольного мы указали такой номер , что выполняется неравенство . Тем самым доказано, что .

Ответ: .

Упражнение 3.2. С помощью определения предела последовательности показать, что число b не является пределом последовательности и пояснить это геометрически.

По определению предела последовательности , если такое, что . Пользуясь правилом построения отрицаний, получаем: , если такое, что .

Более подробно это можно записать так:

, если такое, что

для ,

для ,

…

для ,

…

Таким образом, , если и последовательность номеров таких, что и .

Геометрическая интерпретация этого определения: , если существует некоторая - окрестность точки b, вне которой находится бесконечно много членов последовательности.

Упражнение 3.3. Доказать, что последовательность является расходящейся.

Допустим противное: предположим, что последовательность сходится и ее предел равен числу а, т.е. . Пусть натуральное число N превосходит а: . При любом имеем , что противоречит определению предела, т.к. при всех , в том числе при должно выполняться неравенство .

Упражнение 3.4. Найти предел последовательности с общим членом .

В этой задаче требуется найти . Преобразуем выражение , поделив почленно числитель и знаменатель на . Тогда .

Ответ: .

В данном упражнении мы воспользовались тем, что пределы последовательностей и равны нулю (см. 3.3)

Упражнение 3.5. Найти предел последовательности с общим членом .

В этой задаче требуется найти . Очевидно, что . Тогда

.

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения

1. Доказать, что .

1)

2)

3)

2. Доказать, что последовательность является расходящейся.

3. Найти пределы последовательности:

1)

2)

3)

4 Лекция №4. Предел последовательности (продолжение)

4.1 Теоремы об арифметических свойствах предела последовательности

Пусть и обозначают переменные, пробегающие соответственно последовательности и . Тогда по определению сумма (), разность (), произведение () и частное есть переменные, пробегающие соответственно последовательности , , , . В случае частного предполагается, что для всех

Если для , то в этом случае пишут , , вместо , , .

Теорема 4.1.1. Если существуют конечные пределы последовательностей и , то существуют также пределы их суммы, разности, произведения и частного (при ), и при этом справедливы равенства:

,	(4.1.1)
,	(4.1.2)
, если .	(4.1.3)

Доказательство:

Пусть и . Зададим и подберем так, чтобы выполнялись неравенства , . Тогда , и равенство (4.1.1) доказано.

Чтобы доказать равенство (4.1.2), заметим, что

.

(4.1.4)

Так как имеет предел, последовательность ограничена (по теореме 3.1.2), то есть существует положительное число такое, что

.	(4.1.5)
Пусть
.	(4.1.6)

Подберем число так, чтобы

, .

(4.1.7)

Тогда

Этим доказано равенство (4.1.2).

Докажем равенство (4.1.3). Пусть теперь к условию, что и добавляется условие, что . Тогда

(4.1.8)

Теперь используем теорему о стабилизации знака из предыдущего параграфа, в силу которой

.

(4.1.9)

Для достаточно большого зададим и подберем и такие, чтобы выполнялись неравенства

,	(4.1.10)
.	(4.1.11)

Тогда, положив , в силу (4.1.8)-(4.1.11) получим , что доказывает равенство (4.1.3).

Заметим, что пределы переменных, стоящие в левых частях равенств (4.1.1)-(4.1.3), могут существовать без того, чтобы существовали отдельно пределы () и (). Например, если , , то и не имеют пределов, в то время как , .