2.2 Практическое занятие №2. Числовая последовательность. Свойства последовательностей. Действия над последовательностями

Упражнение 2.1. Написать первые четыре члена последовательности , если:

1)

2) - n-ый знак в десятичной записи числа е;

3) .

1) Подставляя поочередно n = 1, 2, 3, 4 в формулу для общего члена последовательности, найдем:

2) Поскольку е = 2,71828…, то

3) В соответствии с формулой получим:

Упражнение 2.2. Зная несколько первых элементов числовой последовательности , написать формулу его общего члена:

1)

2)

3)

1) Заметим, что знаменатели числовой последовательности представляют собой члены арифметической прогрессии c первым членом

и , значит

.

2) Знаменатели дробей есть квадраты натуральных чисел 1, 2, 3, 4 и т.д. Значит

3) Заметим, что члены последовательности с нечетными номерами отрицательные, а с четными номерами положительные, значит .

Упражнение 2.3. Доказать, что последовательность ¹ где N, строго убывает, начиная с .

Рассмотрим отношение . Очевидно, что при справедливо . Следовательно, при , т. е. данная последовательность убывает, начиная с n = 2.

Упражнение 2.4. Какие из следующих последовательностей ограничены сверху? Ограничены снизу? Ограничены?

1. 2, 4, 6, 8,…;

2. -1, -4, -9, -16, …;

3. 

4. -2, 4, -8, 16… .

1) Данная последовательность, состоящая из всех четных положительных чисел, ограничена снизу, но не ограничена сверху.

2) Последовательность ограничена сверху , но не ограничена снизу.

3) Последовательность ограничена, т.к. она ограничена снизу и сверху:

4) Последовательность не ограничена, т.к. для любого можно найти номер n, что

Упражнение 2.5. Доказать, что последовательность не ограничена.

В силу определения неограниченной последовательности нужно показать, что N, для которого . Зададим произвольное и возьмем любое четное число n, удовлетворяющее неравенству . Для такого n имеем , что и требовалось доказать.

Упражнение 2.6. Пусть - две последовательности. Найти последовательности

Имеем:

.

Задачи для самостоятельного решения

1. Написать первые четыре члена последовательности , если:

1)

2)

3)

4) - n-ый знак в десятичной записи числа

5)

2. Зная несколько первых элементов числовой последовательности , написать формулу его общего члена:

1)

2)

3)

3. Найти последовательности , если:

1)

2)

3 Лекция №3. Предел последовательности

3.1 Основные теоремы о пределах

Теорема 3.1.1. (о единственности предела последовательности). Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство (от противного):

Пусть , , . Изобразим точки a и b на числовой прямой и построим непересекающиеся окрестности этих точек (рисунок 22).

Рисунок 22

Мы не сможем найти такого числа , чтобы все , где , попали одновременно в два непересекающихся множества. Значит, предположение о существовании двух пределов у одной последовательности неверно.

Теорема 3.1.2. (об ограниченности последовательности, имеющей предел). Если последовательность сходится, то она ограничена. То есть, если существует , то существует , такое, что для любого N.

Для доказательства этой и некоторых других теорем нам потребуется так называемое неравенство треугольника: . В справедливости этого неравенства легче всего убедиться, считая, что и – векторы, – их сумма, а , , – соответственно длины этих векторов. Вспомним, как производится сложение векторов, рассмотрев рисунки 23 и 24:

Рисунок 23

или

Рисунок 24

Легко увидеть, что .

Рассмотрим теперь разность векторов (см. рисунки 25 и 26).

Рисунок 25

или

Рисунок 26

Видно, что .

Доказательство теоремы 3.1.2:

Пусть . Зададим и подберем по нему N так чтобы выполнялось при всех . Но поскольку , тогда и . Пусть M – наибольшее среди чисел , . Тогда очевидно, что . Теорема доказана.

Теорема 3.1.3. (о стабилизации знака). Если переменная имеет предел , то существует такое , что . Более того, при указанных n, если , то , а если , то . То есть, начиная с некоторого номера значения сохраняют знак a.

Доказательство: при ; Возьмем . Для этого найдется такое , что (на основании определения предела это неравенство также будет верно), но (неравенство треугольника).

;

;

;

(3.1.1)

.

Первое утверждение теоремы доказано. Теперь рассмотрим неравенство . Оно эквивалентно следующим двум неравенствам:

(3.1.2)

Тогда, если , то , а если , то , и этим доказано второе утверждение теоремы.

Теорема 3.1.4. (о переходе к пределу в неравенстве). Если для всех значений двух переменных и выполняется неравенство и существуют и , то .

Доказательство проводится от противного:

Допустим, что . Зададим , пусть , тогда . Подберем по этому числа и так, чтобы , выполнялось неравенство , и выполнялось неравенство . Это можно сделать, поскольку ,. Сделав это, мы сможем написать:

,;

, .

Если , то очевидно, , . ( по предположению).

Мы пришли к противоречию, так как по условию , N.

Следствие: Если элементы сходящейся последовательности принадлежат отрезку , то ее предел также принадлежит отрезку .

Теорема 3.1.5. (о двойном неравенстве или промежуточной последовательности). Если две последовательности и стремятся к одному и тому же пределу а, и для всех значений трех последовательностей , , выполняются неравенства N, то последовательность так же стремится к пределу а (см. рисунок 27).

Рисунок 27

Доказательство:

Задав любое , можно найти по нему такие и , что , , так как и .

Возьмем неравенства и . Пусть , тогда для всех выполняются оба неравенства. Поэтому . Отсюда , то есть . Таким образом, , то есть .

В условиях этой теоремы оказывается, что значения последовательности постоянно «зажаты» между значениями последовательностей и, которые, стремясь к одному пределу, «увлекают» к этому пределу последовательность . Поэтому доказанная теорема носит шуточное название «теоремы о двух милиционерах» или «теоремы о сэндвиче».

Теорема 3.1.6 (о пределе модуля). Если , то .

Доказательство:

Поскольку , можно подобрать такое , что выполняется неравенство . Но по равенству треугольника, которое можно записать и в таком варианте: . Значит, , что и означает .

Теорема доказана.