2 Лекция №2. Числовая последовательность

2.1 Понятие числовой последовательности и ее предела

Пусть каждому натуральному числу .. по некоторому правилу поставлено в соответствие действительное или комплексное число .

Тогда говорят, что задана числовая последовательность , или что переменная x пробегает значения последовательности .

Отдельные числа, составляющие последовательность, называются ее членами или элементами. Элементы последовательности с разными номерами, и , где , считаются разными членами последовательности, даже если они численно равны.

Правило, по которому можно найти любой член последовательности, обычно задается формулой, которая называется формулой общего члена последовательности.

Пример 2.1.1. Пусть общий член последовательности задан формулой .

Тогда эту последовательность можно обозначить так: .

Если все члены последовательности равны между собой, то она называется постоянной.

Последовательность называется возрастающей (убывающей), если каждый ее последующий член больше (меньше) предыдущего, т.е., если N¹

Последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если каждый последующий ее член не меньше (не больше) предыдущего, т.е. если N.

Возрастающая, убывающая, невозрастающая и неубывающая последовательности называются монотонными.

Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если все члены ее меньше (больше) некоторого числа, то есть если N.

Последовательность называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу, то есть, если N.

Все члены ограниченной последовательности по своей абсолютной величине меньше некоторого числа, то есть ^*: N.

Поскольку вещественному числу геометрически соответствует точка на числовой оси, будем считать, что последовательности вещественных чисел соответствует последовательность точек на этой оси.

Покажем геометрическое изображение некоторых последовательностей на рисунках 15-17.

1)

Рисунок 15

2)

Рисунок 16

3)

Рисунок 17

Видно, что все точки первой последовательности находятся на полуинтервале (0, 1]. Членам второй последовательности соответствуют только точки и 2. Членам третьей последовательности соответствуют точки, расположенные на всей числовой оси.

Две последовательности и называются равными, если каждый член одной последовательности равен соответствующему члену другой, т.е. .

Пример 2.1.2.

Рассмотрим последовательности:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

Последовательности 1, 2, 4 являются примерами ограниченных последовательностей, 3 – последовательность, ограниченная снизу числом 0 и неограниченная сверху, 5 – последовательность, ограниченная снизу числом 2 и неограниченная сверху, 6 – последовательность, неограниченная как сверху, так и снизу.

Переменную величину будем рассматривать как упорядоченное числовое множество, т.е. как множество чисел, расположенных в известной последовательности.

Определение 2.1.1. (словесное) Число а называется пределом переменной x, если абсолютное значение для всех ее значений , следующих за некоторым значением , будет меньше любого заранее данного положительного числа , как бы мало оно ни было.

Определение 2.1.2. (геометрическое) Число a называется пределом числовой последовательности , если для любой окрестности точки a существует такое число R, зависящее от окрестности , что для всякого номера . (См. рис. 18.)

Рисунок 18

Определение 2.1.3. (символьное) ¹:

.

(2.1.1)

Вернемся к примеру 2.1.2 пункт 1. Докажем, что . Будем доказывать это, пользуясь определением предела, по следующей схеме:

а) Выберем произвольное .

б) Выясним, для каких членов последовательности выполняется неравенство .

Предполагаемый предел в нашем примере а = 0, значит, нужно выяснить, для каких членов последовательности выполняется неравенство , или , или . Отсюда .

в) Находим для выбранного . В нашем примере . Запись означает целую часть числа .

г) Делаем вывод:

.

Рассмотрим теперь переменную из примера 2.1.2 пункт 4, где .

Докажем, что предел этой переменной равен 1.

а) Выберем произвольное .

б) Выясним, для каких членов последовательности выполняется неравенство .

.

Значит, неравенство выполняется для всякого , если .

в) .

г) .

Определение 2.1.4. Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся. Если число а является пределом последовательности при , то говорят, что последовательность сходится к числу а и пишут: .

Расходящейся называется последовательность, предел которой равен бесконечности, или последовательность, не имеющая предела.

Пример последовательности, не имеющей предела: .

Определение 2.1.3’. (отрицание к определению 2.1.3). Число a не есть тогда и только тогда, когда для любого N. найдется такое , что .

В рассмотренном примере можно взять любое число a принадлежащее отрезку и показать, что оно будет удовлетворять определению 2.1.3^’.

Определение 2.1.2’. (отрицание к определению 2.1.2). Число a не есть тогда и только тогда, когда существует такая  - окрестность точки а , что N найдется , такое, что .

На рисунке 19 изображена последовательность, предел которой не равен а, а на рисунке 20 – последовательность, предел которой равен а.

Рисунок 19
Рисунок 20

Докажем, что последовательность , заданная в примере 3.2 пункт 2), не стремится ни к какому пределу (т.е. не имеет предела).

Доказательство:

Изобразим эту последовательность геометрически на рисунке 21.

Рисунок 21

Допустим, что эта последовательность имеет предел, равный a. Рассмотрим некоторую - окрестность этой точки, например . Длина ее равна . Очевидно, что эта окрестность не может одновременно содержать точки и 2, поскольку расстояние между этими точками равно . Для определенности будем считать, что точка 2 не принадлежит к построенной окрестности. Но для , т.е. вне этой окрестности имеется бесконечное число элементов последовательности. Таким образом, точка а не может быть пределом последовательности, а так как эта точка произвольна, последовательность не имеет предела. Все сказанное можно, в частности, отнести и к случаю а=2 или а=. Проведите соответствующие рассуждения самостоятельно.