1.3 Практическое занятие №1. Множества. Операции над множествами. Ограниченность множества

Упражнение 1.1. Перечислить элементы множества.

а) множество всех целых положительных степеней числа 3, меньших, чем 250.

Ответ:

б) множество всех целых положительных чисел, кратных 5 и меньших, чем 47.

Ответ:

Упражнение 1.2. Записать множество, перечислив его элементы.

Элементами данного множества являются корни следующего уравнения:

Ответ: .

Упражнение 1.3. Найти множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют следующим уравнениям.

а)

Разложим левую часть уравнения на множители:

Ответ: Множество точек, принадлежащих прямым .

б)

Такому множеству не удовлетворяет ни одна точка действительной плоскости.

Ответ: Ø (пустое множество).

Упражнение 1.4. Изобразить множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют следующим системам неравенств:

а)

Изобразим прямые на координатной плоскости (см. рисунок 7)

Рисунок 7

Ответ: Данному множеству принадлежат точки, лежащие ниже прямой и точки, лежащие правее прямой , причем точки самой прямой множеству не принадлежат.

б)

Для отыскания границ множеств запишем и решим вспомогательную систему уравнений:

Изобразим прямые на координатной плоскости (см. рисунок 8):

Рисунок 8

Ответ: Множеству принадлежат все точки плоскости, лежащие ниже прямой и ниже прямой .

Упражнение 1.5. Пусть множество А – множество всех положительных целых чисел, делящихся на 3, а В – множество всех положительных чисел, сумма цифр которых делится на 3. В каком соответствии находятся данные множества?

Т.к. все целые числа, сумма цифр которых делится на 3, делятся на 3 без остатка, то данные множества совпадают.

Ответ: А = В.

Упражнение 1.6. Пусть А – множество всех положительных чисел, а В – множество всех положительных чисел, делящихся на 6. В каком соответствии находятся данные множества?

Поскольку не все положительные целые числа делятся на 6, множество В содержится во множестве А.

Ответ: В  А.

Упражнение 1.7. Изобразить с помощью кругов Эйлера-Венна¹ соотношения следующих множеств: А – множество четных натуральных чисел, В – множество однозначных натуральных чисел, С - множество натуральных чисел, кратных 4.

Ответ: см. рисунок 9.

Рисунок 9

Упражнение 1.8. Пусть ;

;

.

Найти: а)

б)

в) .

а) Изобразим множества на координатной оси: см. рисунки 10-14.

Рисунок 10

;

Рисунок 11

;

б) Найдем отрицание множеств А и В:

;

Рисунок 12

;

Рисунок 13

;

в) ;

;

Рисунок 14

.

Ответ:

.

Упражнение 1.9. В Мировом океане известно 19 глубоководных впадин, глубина которых превышает 7 километров, из них 16 находятся в Тихом и Индийском океанах, а 4 – в Индийском и Атлантическом. Сколько в каждом океане глубоководных впадин?

Пусть А – множество глубоководных впадин в Тихом и Индийском океанах, В – множество глубоководных впадин в Индийском и Атлантическом океанах. По условию число элементов в этих множествах обозначим , . Известно также, что . Глубоководные впадины Индийского океана образуют множество . Для отыскания числа элементов этого множества используем формулу

,

согласно которой

.

Таким образом, в Индийском океане одна глубоководная впадина, а потому в Тихом океане их 15, а в Атлантическом – 3.

Отметим, что данную задачу можно было бы решить и традиционным алгебраическим методом. Если x, y и z – число глубоководных впадин соответственно в Тихом, Индийском и Атлантическом океанах, то

Решая эту систему, получим , что и является ответом задачи.

Ответ: в Тихом океане 15 глубоководных впадин, в Индийском одна и в Атлантическом – 3.

Упражнение 1.10. Является ли ограниченным снизу множество ?

Неравенство выполняется при любом , т. е. не существует числа m такого, что выполнялось бы неравенство . Следовательно, множество А не является ограниченным снизу.

Ответ: множество А не ограничено снизу.

Упражнение 1.11. Ограничено ли сверху множество точек полуинтервала ?

Ограничено, т. к. для .

Ответ: ограничено.

Упражнение 1.12. Какие из указанных ниже множеств ограничены?

Множества ,, ограничены. Действительно, для множества существует число с (например, с = 1) такое, что . Для множества таким числом будет, например, число с = 3, т. к. . Для множества число с = 9, т. к. .

Множества не ограничены.

Ответ: ограничены множества ,,.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти множество решений уравнений.

1)

2)

2. Найти множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению .

3. Какие из множеств конечны или бесконечны?

1) ;

2) множество прямых, проходящих через две данные точки;

3) множество прямоугольников с периметром Р = 20.

4. Даны множества:

Найти: а) б)

5. Какие из перечисленных ниже множеств являются ограниченными?