1.2 Ограниченность и счетность множеств. Точная верхняя и точная нижняя грани множества

Если a и b - фиксированные числа, где a < b, то множество можно записать так: .

Число b - a называется длиной отрезка . Это же число будет и длиной интервала ,полуинтервала , полуинтервала .

Если a и bR, то число называется расстоянием между точками a и b.

Определение 1.2.1. Множество действительных чисел называется ограниченным сверху, если существует такое число , что для всех . В этом случае говорят, что число ограничивает сверху множество . Число b тогда называется верхней границей или мажорантой множества X.

Определение 1.2.2. Множество действительных чисел называется ограниченным снизу, если существует такое число a, что для всех . В этом случае говорят, что число a ограничивает снизу множество X. Число a называется тогда нижней границей или минорантой множества X.

Определение 1.2.3. Множество X действительных чисел, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным. Другими словами, множество X действительных чисел x называется ограниченным, если существуют такие числа a и b, что для всех .

Для ограниченного множества существуют различные числа, ограничивающие это множество сверху и снизу, например, любое число ограничивает сверху множество , любое число ограничивает это множество снизу. Таким образом, у ограниченного сверху множества существует множество верхних границ, или мажорант. У ограниченного снизу множества существует множество нижних границ или минорант.

Среди чисел, ограничивающих сверху данное множество (мажорант), выделяют наименьшее и называют точной верхней гранью множества.

Среди чисел, ограничивающих данное множество снизу (минорант), выделяют наибольшее и называют точной нижней гранью множества.

Кроме этих словесных определений можно дать следующие более математически строгие определения точной верхней и точной нижней граней множества.

Определение 1.2.4. Число M называется точной верхней гранью числового множества X, если:

1) ,

2) :.

Точная верхняя грань множества X обозначается или (supremum).

Например, для отрезка для интервала .

Определение 1.2.5. Число m называется точной нижней гранью множества X, если: 1) ,

2) :.

Точная нижняя грань множества X обозначается или (infimum).

Например, если , то ; если , то = 6.

Приведенные примеры показывают, что верхняя и нижняя грани могут принадлежать, а могут и не принадлежать множеству.

Если множество X не ограничено сверху (снизу), то его точной верхней (нижней) гранью считается символ ().

Слово «supremum» означает «наивысший», а слово «infimum» - «наинизший». Эта терминология не особенно удачна, поскольку, например, - не всегда наивысший элемент множества X. Если множество ( R) конечно, т.е. состоит из конечного количества чисел , то среди них всегда есть наименьшее и наибольшее числа, которые обозначаются соответственно: ¹,

.

Если же множество X - бесконечное, то это не всегда так, именно поэтому и возникает вопрос о введении для произвольного множества X чисел, по возможности заменяющих и . Такими числами (конечными и бесконечными) и являются числа и .

Вернемся к определению 1.2.3 ограниченного множества. Его можно дать и в таком варианте:

Определение 1.2.3’. Множество X ограничено, если существует число , такое, что .

Очевидно, что последнее неравенство эквивалентно неравенствам , а значит, определение 1.2.3’ равносильно определению 1.2.3.

Если множество не является ограниченным, его называют неограниченным. Дадим определение неограниченного множества, построив отрицание логической формулы определения 1.2.3’.

Определение 1.2.6. Множество неограниченно, если для любого положительного числа M существует , такое, что .

Например: отрезок - ограниченное множество, интервал - ограниченное множество, если a и b - конечные числа.

Если или , то такие интервалы будут неограниченными множествами.

Определение 1.2.7. Множество X называется бесконечным, если для всякого натурального числа n во множестве X имеются элементы, количество которых больше n.

Определение 1.2.8. Два множества A и B называют эквивалентными (A ~ B), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.

Другими словами: два множества называются эквивалентными, если существует такое правило, по которому всякому элементу множества A ставится в соответствие вполне определенный элемент множества B. При этом в силу этого правила двум разным элементам соответствуют два разных элемента , и каждый элемент множества B соответствует некоторому элементу множества A.

Например, пусть A - множество точек окружности радиуса r, а B - множество точек окружности радиуса R ; эти множества эквивалентны (см. рисунок 6).

Рисунок 6

Определение 1.2.9. Если множество X эквивалентно множеству N, то множество X называется счетным. (Тогда элементы множества X можно перенумеровать с помощью натуральных чисел).