1 Лекция №1. Введение

Приступая еще в школьном курсе математики к изучению математического анализа, мы начинаем знакомиться с элементами высшей математики. До этого момента на уроках алгебры и геометрии изучается элементарная математика, т.е. математика постоянных величин. И только в старших классах ученик получает начальные сведения о переменной величине, которая, в отличие от постоянной, принимает различные числовые значения.

Областью изменения переменной называется совокупность всех принимаемых ею числовых значений.

Если переменная принимает любые значения из своей области изменения независимо ни от каких других переменных, она называется независимой переменной. Если значения некоторой переменной находятся в какой-либо зависимости от значений одной или нескольких независимых переменных, то такая переменная называется функцией одной или нескольких независимых переменных (аргументов).

Математический анализ – это область математики, в которой изучаются переменные величины и функциональные зависимости. Относительно этих величин вводятся, во-первых, операции, известные из арифметики и элементарной алгебры – сложение, вычитание, умножение и деление. Во-вторых, появляются две новые операции – дифференцирование и интегрирование.

Таким образом, модели, применяющиеся в математическом анализе – это аналитические выражения (формулы), составленные из символов переменных величин и знаков, обозначающих алгебраические операции и операции дифференцирования и интегрирования.

1.1 Множества. Операции над множествами

Множество – это совокупность объектов, обладающих некоторым общим свойством. Числовое множество – это некоторая совокупность чисел. Обозначим буквой некоторое числовое множество. Элемент множества, то есть число, входящее в это множество, будем обозначать буквой .

Выражение означает, что число принадлежит множеству , или число является элементом множества .

Множество Х, состоящее из конечного числа элементов можно обозначить так: . Если множество состоит из бесконечного числа элементов, то его можно обозначить так: .

Пусть и - два множества. Если все элементы множества содержатся во множестве , то говорят, что множество является подмножеством множества и пишут: .

Пусть - некоторое свойство, которым обладает элемент множества . Множество всех элементов, обладающих этим свойством, обозначается так: , или так: .

Пример 1.1.

Пусть , ,.

= - отрезок

= - интервал

= - полуинтервал

= - полуинтервал

= - полупрямая

= - полупрямая

= - вся числовая ось

= - луч

= - луч

Все эти множества – отрезки, интервалы и полуинтервалы – называются промежутками. Промежутки , , , называются конечными. Остальные промежутки называются бесконечными.

Все вещественные числа изображаются точками на координатной прямой, поэтому множество всех вещественных чисел называется числовой прямой, а числа точками.

Для конечных промежутков точки а и будут концами, или граничными точками.

Множество, содержащее все свои граничные точки, называется замкнутым (отрезок). Множество, не содержащее ни одной своей граничной точки, называется открытым (интервал).

Общепринятыми являются следующие обозначения:

N - множество всех натуральных чисел.

Z - множество всех целых чисел

Q - множество всех рациональных чисел.

I - множество всех иррациональных чисел.

R - множество всех вещественных чисел.

C - множество всех комплексных чисел.

Вспомним, что известно об этих множествах из школьного курса.

Натуральными называются числа , используемые для счета предметов. Натуральные числа, числа, противоположные натуральным и число 0 составляют множество целых чисел.

Рациональным называется число, которое можно представить в виде , где p и q – целые числа, причем . Всякое такое число либо является целым, либо может быть представлено конечной десятичной дробью или периодической бесконечной десятичной дробью.

Числа, которые представляются только непериодической бесконечной десятичной дробью, например, число π = 3,1415926536… называются иррациональными.

Рациональные и иррациональные числа вместе составляют множество действительных или вещественных чисел.

Задание комплексного числа определяется заданием пары вещественных чисел а и , для которых вводятся следующие понятия:

1) Равенство. Пары и считаются равными тогда и только тогда, когда а = с и .

2) Нуль. Нулем называется такое комплексное число, сумма которого с любым комплексным числом z равна этому числу: z + 0 = z.

3) Сумма. Суммой комплексных чисел и называется комплексное число , такое, что , .

4) Произведение. Произведением комплексных чисел и называется комплексное число , такое, что , .

Рассмотрим числа и . Найдем их произведение, или квадрат комплексного числа (0,1): ,

,

.

Комплексное число (0,1) называется мнимой единицей и обозначается символом i.

Всякое действительное число а можно считать парой (а ,0) и рассматривать как комплексное число.

Пусть а - вещественное число, изображающееся произвольной точкой числовой прямой. Возьмем произвольное . Интервал называется - окрестностью точки а (см. рисунок 1).

Рисунок 1

 - окрестность точки а обозначается или .

Утверждение равносильно утверждению .

Объединением двух множеств А и B называется множество C, которому принадлежат все элементы первого множества и все элементы второго множества. Обозначается: (см. рисунок 2).

Рисунок 2

Пересечением двух множеств A и B называется множество D, состоящее из элементов, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B. Обозначается: (см. рисунок 3).

Рисунок 3

Разностью двух множеств А и В называется множество Е, состоящее из элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В. Обозначается: (см. рисунок 4).

Рисунок 4

Если множество В содержится во множестве А, тогда разность называется дополнением множества В до множества А. Обозначается: (см. рисунок 5).

Рисунок 5