9.2 Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва

Определение 9.2.1. (определение непрерывности функции в точке на языке приращений). Функция называется непрерывной в точке , если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции , т.е. . (См. рисунок 40, на котором изображен график функции, непрерывной в точке ).

Рисунок 40

Если это условие нарушается, то в точке функция терпит разрыв (см. рисунок 41).

Рисунок 41

Разрыв, изображенный на последнем рисунке, бесконечный. Но функция в точке может терпеть и конечный разрыв (см. рисунок 42).

Рисунок 42

Определение 9.2.2. (равносильное первому, на языке пределов). Функция называется непрерывной в точке , если:

1) она определена в этой точке;

2) существует . (Если в точке односторонние пределы функции существуют и равны, то предел функции в этой точке существует и равен обоим односторонним пределам.);

3) этот предел равен значению функции в точке : .

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то функция терпит разрыв в точке . Точка называется в этом случае точкой разрыва функции .

9.3 Практическое занятие №9. Сравнение бесконечно малых

Упражнение 9.1. Сравнить бесконечно малые функции и при .

Учитывая, что sin2x  2x при , получим .

Следовательно, функция есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с функцией при .

Найдем предел . Так как полученный предел конечен и не равен нулю, то функция - бесконечно малая второго порядка по сравнению с функцией при .

Ответ: - бесконечно малая второго порядка по сравнению с при .

Упражнение 9.2. Сравнить бесконечно малые функции и при .

Учитывая, что , найдем

.

Следовательно, бесконечно малые функции и эквивалентны при .

Ответ: и эквивалентны.

Упражнение 9.3. Сравнить бесконечно малые функции и при .

Так как ,  при , то

, т.е - бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с . Найдем этот порядок путем подбора. Вычислим

.

Следовательно, бесконечно малая имеет порядок по сравнению с бесконечно малой при .

Ответ: - имеет порядок по сравнению с бесконечно малой при .

Упражнение 9.4. Определить порядок бесконечно малой функции по сравнению с функцией при .

Найдем число k такое, чтобы .

Учитывая, что  при , запишем: . Подбором определяем .

Действительно, . Следовательно, функция имеет порядок по сравнению с функцией при .

Ответ: имеет порядок по сравнению с при .

Упражнение 9.5. Найти .

В данном случае и числитель, и знаменатель дроби являются бесконечно малыми функциями при . Так как при замене бесконечно малой функции на эквивалентную ей при функцию искомый предел отношения не изменится, то .

Ответ: .

Упражнение 9.6. Найти .

Воспользуемся соотношением эквивалентности  при .

Запишем числитель в виде . Так как при , то  при . Учитывая, что  при , получим:

.

Ответ: .

Упражнение 9.7. Найти .

Заменяя в числителе дроби единицу на ln e и преобразуя числитель, имеем

.

Ответ: .

Упражнение 9.8. Вычислить .

Учитывая, что ,  при , найдем .

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения

1. Сравнить бесконечно малые функции и при .

2. Определить порядок k функции по сравнению с функцией при .

3. Сравнить бесконечно малые функции и при .

4. Сравнить бесконечно малые функции и при .

5. Найти пределы:

1) ; 4) ;

2) ; 5) .

3) ;