7.2 Бесконечно малые функции и их основные свойства
Определение 7.2.1. Функция =(х) называется бесконечно малой при
х
а или при х
,
если
или
.
Из этого определения
следует, что если, например,
,
то это значит, что для любого наперед
заданного сколь угодно малого >0
существует >0
такое, что если x-a<
,
то (x)<.
Пример 7.2.1.
1) функция
есть бесконечно малая при х
1:
;
2) функция
есть бесконечно малая при х
:
.
Теорема 7.2.1. Предел функции y = f(x) равен числу b тогда и только тогда, когда эта функция представляется в виде суммы числа b и бесконечно малой (х).
,
где
.
(7.2.1)
Доказательство:
Пусть выполняется
равенство (7.2.1). Из него следует, что
,
где
.
Но последнее утверждение означает, что
при произвольном >0
все значения ,
начиная с некоторого, удовлетворяют
соотношению
,
следовательно, для всех значений y,
начиная с некоторого, будет выполняться
неравенство
.
А это и значит, что
.
Докажем, что верно и обратное.
Если
,
то
> 0
> 0: 0 < x
– a
<
f(x)
– b
<
,
или
начиная с некоторого значения у. Но если
обозначим y
– b
= (х),
то, следовательно, для всех значений
(х),
начиная с некоторого, будет выполняться
неравенство (х)
<
,
а это и значит, что (х)
– бесконечно малая при х
а.
Пример 7.2.2.
.
.
Переменную у можно
представить в виде суммы
,
где
.
- бесконечно малая
при х
.
Рисунок 38 представляет собой иллюстрацию
к этому примеру.
Рисунок 38
Теорема 7.2.2. Если = (х) стремится к нулю при х а (или при х)
и не обращается в
нуль, то переменная
стремится к бесконечности при х
а (или при х
).
Доказательство:
При любом сколь
угодно большом M
> 0 будет выполняться неравенство
,
если только будет выполняться неравенство
.
Но такое неравенство будет выполняться
для всех значений ,
начиная с некоторого, поскольку (х)
– бесконечно малая.
Определение
7.2.2. Функция
называется
бесконечно большой при
,
если
или
.
Таким образом, теорему 7.2.2 можно сформулировать так:
Если
- бесконечно малая при
,
то функция
будет бесконечно большой при
.
Теорема 7.2.3. Алгебраическая сумма двух, трех и любого конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Доказательство:
Доказательство проведем для суммы двух бесконечно малых.
Пусть
,
где
,
Докажем, что при
произвольном сколь угодно малом
,
такое, что при условии, что выполняется
неравенство
будет выполняться неравенство
Так как
при
,
то
.
при
Пусть
Тогда если выполняется неравенство
то одновременно выполняются неравенства
и
Итак,
:
что и требовалось доказать.
Теорема 7.2.4. (второе свойство бесконечно малых). Произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть бесконечно малая.
Доказательство:
Пусть
- бесконечно малая при
,
т.е.
Пусть также z(x)
– ограниченная функция в некоторой
окрестности точки
,
т.е. существует
такое, что для всякого x,
удовлетворяющего неравенству
выполняется неравенство
Поскольку
при
,
для всякого
существует
,
такое, что
.
Пусть
Тогда для всякого x,
такого, что
,
будут выполняться неравенства
и
а значит, и неравенство
,
а это и означает, что
- бесконечно малая при
.
При
доказательство проводится аналогично.
Следствие 1. Бесконечно малая функция является ограниченной, поэтому произведение двух бесконечно малых функций есть бесконечно малая.
Следствие 2. Произведение бесконечной малой функции на постоянную есть бесконечно малая функция.
Теорема 7.2.5.
Если
,
то функция
есть ограниченная функция при
.
Доказательство:
Из условия теоремы
следует, что при произвольном
в некоторой окрестности точки x
= a
будет выполняться неравенство
,
или
,
или
.
Из последнего
неравенства следует:
,
а это и значит, что функция
ограничена.
Теорема 7.2.6.
(третье свойство бесконечно малых).
Частное
от деления бесконечно малой функции
на функцию
,
предел которой отличен от нуля, есть
функция бесконечно малая.
Доказательство:
Пусть
Но тогда функция
- ограничена при
.
- произведение
бесконечно малой функции на ограниченную
есть бесконечно малая функция, по
предыдущей теореме. Итак,
в условиях теоремы есть бесконечно
малая функция, что и требовалось доказать.