6 Лекция №6. Понятие о функции

6.1 Функции одного аргумента и ее основные характеристики

Функция в математике – это способ выражения зависимости одних переменных величин от других. Существуют различные математические определения функции. Остановимся на следующем:

Функция одной переменной задана, если каждому элементу множества А по некоторому правилу ставится в соответствие элемент другого множества В.

При задании функции одной переменной всегда следует указывать:

1) множество А значений, которые может принимать независимая переменная, т. е. область определения функции;

Область определения функции f(x) обычно обозначается А = Df(x).

2) правило, по которому каждому значению независимой переменной из множества А сопоставляется значение функции. Множество В всех таких значений называется областью значений функции (см. рисунок 29).

Рисунок 29

Переменную, принимающую значения членов последовательности, можно рассматривать как функцию натурального аргумента, т.е. функцию, для которой A = N.

Когда правило, по которому каждому элементу x  A ставится в соответствие определенный элемент y  B известно, функция задана явно и обозначается так: y=f(x). Иногда такое правило в явном виде не сформулировано. Известно, что переменная y является функцией аргумента x, а также задано соотношение F(x, y) = 0, где F(x, y) – функция двух переменных. Тогда говорят, что функция y(x) задана неявно. Введем понятие функции двух переменных.

Если каждой упорядоченной паре значений двух переменных x, y  А по некоторому правилу сопоставляется определенный элемент множества B, то задана функция двух аргументов Z = f(x,y).

Функция одной независимой переменной может быть также задана через вспомогательную переменную (параметр t).

Пусть известно, что t принимает все значения в отрезке [, ]: t .

Пусть также заданы функции ,а зависимость переменной y от x существует, но не выражена явно. В этом случае говорят, что функция y(x) задана параметрически.

Функцию, значение которой получается из значений x и постоянных величин при помощи четырех действий арифметики и предельных переходов, называют аналитически представимой или изобразимой. В частности, все элементарные функции относятся к аналитически представимым.

Кроме аналитического, существуют другие способы задания функций (табличный, графический и др.).

При задании функции аналитически, т.е. с помощью некоторых формул, под областью определения функции понимают множество всех тех действительных значений аргумента, при которых выражение, определяющее функцию, имеет смысл. Область определения при этом называется областью существования функции или областью допустимых значений аргумента.

Пусть на множестве A задана функция y = f(x). Рассмотрим область

значений этой функции – множество В. Зададим на множестве В функцию g(y). Каждому элементу y из множества В по некоторому правилу соответствует некоторый элемент z множества С.

Но таким образом каждому элементу x множества А мы поставим в соответствие некоторый элемент z множества С: z = g(y) = g(f(x)). Z есть сложная функция от х, являющаяся суперпозицией (или композицией) функций y = f(x) и z = g(y) (см. рисунок 30). Сложная функция может получаться в результате суперпозиции трех и более функций.

Рисунок 30

Суперпозицию функций f(x) и g(y) иногда обозначают так: .

Пример 6.1.1.

- суперпозиция трех функций (объясните, каких).

Графиком функции , определенной на множестве А, называется совокупность точек плоскости XОY, абсциссы которых принадлежат А, а ординаты являются соответствующими значениями функции.

Множество Г - это геометрический образ функции (линия на плоскости).

Геометрическим образом функции двух независимых переменных будет некоторая поверхность в трехмерном пространстве

.

Г здесь – множество точек трехмерного пространства; x и y – абсцисса и ордината точки поверхности, - аппликата; D – проекция участка поверхности на плоскость X0Y (см. рисунок 31).

Рисунок 31

Введем еще несколько определений, относящихся к функциям одной независимой переменной.

Определение 6.1.1. Функция называется четной или нечетной, если она определена на множестве, симметричном относительно нулевой точки и обладает на нем свойством или, соответственно, .

График четной функции, очевидно, симметричен относительно начала координат.

Приведите самостоятельно примеры известных Вам четных и нечетных функций. Изобразите их графики.

Нетрудно заметить, что произведение двух четных функций есть четная функция. Произведение двух нечетных функций – также четная функция. Произведение четной функции на нечетную есть нечетная функция. Докажите это самостоятельно.

Определение 6.1.2. Функция называется возрастающей на множестве А, если для любых , где . Если для любых , где , выполняется неравенство , то функция называется неубывающей на множестве А.

Функция называется убывающей на множестве А, если для любых , где . Если для любых , где , то функция называется невозрастающей на множестве А.

Все эти четыре вида функций являются монотонными функциями.

На рисунке 32 представлен график немонотонной функции на [a, b]; на отрезке [c, b] она будет монотонно возрастать.

Рисунок 32

Определение 6.1.3. Пусть f(x) – функция, заданная на некотором множестве значений аргумента. Если существует положительное число М такое, что для всех допустимых значений аргумента, то f(x) называется ограниченной в ее области определения.