5.4 Практическое занятие №5. Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности. Условие Коши сходимости последовательности
Упражнение 5.1.
Доказать, что
Доказательство:
1) Пусть постоянная
а есть правильная положительная дробь
.
Тогда с увеличением n
переменная
будет монотонно убывать, т.е. каждое
следующее ее значение будет меньше
предыдущего. Докажем, что, начиная с
определенного значения
и для всех следующих значений
,
значение функции
будет меньше любого заданного
положительного числа ε.
Полагая
,
найдем исходное значение
.
Логарифмируя обе части неравенства,
получим
,
откуда найдем
.
(Знак неравенства изменился, так как
при
.)
Следовательно,
значение функции
при
и все последующие ее значения при
будут меньше ε,
как бы мало оно ни было, т.е. доказано,
что при
и при
функция
является бесконечно малой величиной,
т.е.
.
2) Пусть
.
Тогда с увеличением n
переменная
будет монотонно возрастать. Докажем,
что начиная с определенного значения
и для всех последующих значений
значения функции
будут больше любого заданного
положительного числа N.
Полагая
,
найдем
.
Следовательно, для всех значений
значения функции
будут больше N,
как бы велико оно ни было, т.е. доказано,
что при
и при
функция
является положительной бесконечно
большой величиной, т.е.
.
Упражнение 5.2.
Сформулировать на языке «
»
отрицание того, что последовательность
является бесконечно большой. Дать
геометрическую интерпретацию этого
отрицания.
Согласно определению
бесконечно большой последовательности
,
если
такое, что
Пользуясь правилом построения отрицаний,
получаем, что последовательность
не является бесконечно большой, если
такое, что
:
С геометрической точки зрения это
означает, что найдется некоторая
окрестность нуля, в которой находится
бесконечно много членов последовательности.
Упражнение 5.3.
Пусть
Доказать, что последовательность
:
а) неограниченная; б) не является
бесконечно большой.
Доказательство:
а) Докажем, что
удовлетворяет определению неограниченной
последовательности. В самом деле,
член последовательности с номером
больше M.
Это и означает по определению, что
- неограниченная последовательность.
б) Докажем, что
последовательность
не
является бесконечно большой. Действительно,
в интервале
находятся, очевидно, все члены
последовательности с нечетными номерами,
а значит, в этом интервале находится
бесконечно много членов последовательности
.
Отсюда следует, что
не является бесконечно большой.
Упражнение 5.4.
Пусть
- сходящаяся, а
- бесконечно большая последовательность.
Доказать, что последовательность
удовлетворяет определению бесконечно
большой, т.е.
такое, что
выполняется
Из того, что
и
получаем, что
выполняется неравенство
что и требовалось доказать.
Упражнение 5.5.
Найдите
предел а последовательности
,
которая определяется рекуррентным
соотношением
где
- произвольное число, удовлетворяющее
неравенству
|
|
(*). |
Доказательство:
Для
неравенства (*) выполняются по условию.
Допустим, что неравенства (*) имеют место
для номера n,
и докажем, что тогда они будут справедливы
для номера
.
Запишем рекуррентное соотношение в
виде
.
Из неравенства (*) следует, что
,
поэтому
.
Тем самым неравенства (*) доказаны для
.
Докажем теперь,
что последовательность
возрастающая. Так как
,
то
.
Разделив рекуррентное соотношение на
,
получим
.
Отсюда следует, что
.
Таким образом, последовательность
монотонная и ограниченная. Следовательно,
существует
,
который обозначим а. Для отыскания а
перейдем к пределу в рекуррентной
формуле. Получим
,
или
.
Отсюда
или
;
так как
и последовательность
возрастающая,
.
Упражнение 5.6.
Пользуясь критерием Коши, доказать
сходимость последовательности
,
где
1.
Доказательство:
В силу критерия
Коши достаточно доказать, что
последовательность
фундаментальная. Для этого оценим
.
Имеем
.
Так как
,
то
.
Поэтому для
,
N
имеем
Зададим теперь произвольное
и положим
.
Тогда
выполняется неравенство
,
откуда
.
Следовательно,
и любого натурального р, используя
неравенство
,
получаем
.
Это доказывает фундаментальность
последовательности
.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Докажите, что заданные последовательности бесконечно малые:
1)
2)
.
2. Докажите, что заданные последовательности бесконечно большие:
1)
2)
.
3. Докажите, что
последовательность
неограниченная, однако не является
бесконечно большой.
4. Докажите сходимость
и вычислите предел последовательности
,
если она определяется рекуррентным
соотношением:
- произвольное отрицательное число,
5. Пользуясь
критерием Коши, докажите сходимость
последовательности
,
если:
1)
2)
.