5.2 Теорема Больцано-Вейерштрасса1

Пусть дана произвольная последовательность действительных чисел . Выберем из нее бесконечное множество элементов с номерами . Тогда получим новую последовательность , которая называется подпоследовательностью последовательности . Таких подпоследовательностей можно выделить из последовательности бесконечно много.

Если последовательность имеет предел, равный конечному числу, или , то и любая ее подпоследовательность также имеет предел, причем тот же, что и исходная последовательность. Последовательность – это пример не сходящейся последовательности чисел. Но эта последовательность содержит в себе сходящуюся подпоследовательность: . Она сходится к единице. Всякая ли последовательность действительных чисел содержит в себе подпоследовательность, имеющую предел? Ответ на этот вопрос дают следующие теоремы.

Теорема 5.1.1. Из всякой последовательности действительных чисел можно выделить подпоследовательность , имеющую предел. Этим пределом может быть либо конечное число, либо , либо .

Доказательство:

В случае, когда последовательность не ограничена сверху (снизу), она, очевидно, содержит в себе подпоследовательность, стремящуюся к , или соответственно, к , что доказывает теорему. Если же последовательность ограничена, то теорема 5.1.1 сводится к теореме 5.1.2.

Теорема 5.1.2 (Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторому числу.

Доказательство:

Так как последовательность точек ограничена, то все они принадлежат некоторому отрезку , который обозначим через . Разделим на два равных отрезка и обозначим через – самый правый из них, содержащий в себе бесконечное число элементов . Выберем из них элемент . Если правее есть точки , то их конечное число. Разделим на два равных отрезка и обозначим через самый правый из них, содержащий в себе бесконечное число элементов . Выберем из них элемент с номером . Если правее есть точки , то их конечное число.

Продолжим этот процесс по индукции. В результате получим последовательность вложенных друг в друга отрезков , длины которых , и подпоследовательность точек нашей последовательности, таких, что . При этом правее каждого из отрезков имеется не более, чем конечное число элементов .

На основании принципа вложенных отрезков существует, и притом единственная, точка с, принадлежащая любому из отрезков . Очевидно, что последовательность имеет своим пределом с, то есть .

Теорема доказана.

5.3 Условие Коши1 сходимости последовательности

Пусть задана последовательность действительных чисел , сходящаяся к конечному пределу a: . Это значит, что найдется число , такое, что . В это неравенство можно было подставить вместо n натуральное число m: . Тогда .

Мы получили следующее утверждение: если переменная имеет конечный предел, то для нее выполняется условие Коши:

.

(5.3.1)

Последовательность чисел, удовлетворяющая условию Коши, называется фундаментальной.

Справедливо и обратное утверждение: если последовательность действительных чисел фундаментальная, то есть удовлетворяет условию Коши, то она имеет предел, то есть существует конечное число a, такое, что при . Поэтому условие Коши называют критерием сходимости последовательности.

Доказательство:

Докажем, что фундаментальная последовательность ограничена. В самом деле, положим и подберем по нему, согласно условию Коши, число так, что , откуда или (10.1).

Зафиксируем и обозначим , то есть наибольшее из всех чисел , где , и числа . Тогда, в силу (10.1) N. Ограниченность последовательности доказана.

По теореме Больцано-Вейерштрасса из ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторому конечному числу a, то есть . Покажем, что не только эта подпоследовательность, но и вся последовательность имеет предел, равный a:

. В самом деле, согласно условию Коши (5.3.1), которому удовлетворяет наша последовательность:

(5.3.2)

С другой стороны, в силу того, что , можно указать такое , что .

Учитывая, что при , можно найти такое , что . Поэтому

(5.3.3)

В силу (5.3.2), где надо положить , и (5.3.3) имеем:

.

Мы доказали, что последовательность имеет предел, равный a.

Таким образом, доказана теорема, которую мы назовем критерием Коши существования предела.

Сформулируем еще раз теорему Коши. Для того, чтобы последовательность действительных чисел имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной, то есть чтобы для нее выполнялось условие Коши (5.3.1).