Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЛЕБЕДЕВА А.Л., ОЛЕЙНИКОВ Б.И. Физика окончатель....doc

Скачиваний:

Добавлен:

03.11.2018

Размер:

3.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 227 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Способ 2

Применяя уравнение Клапейрона - Менделеева, получим те же результаты.

откуда

, .

Вычисляя, получим

Проверка размерностей:

Ответ: , .

Пример 4. В баллоне содержится кислород массой г и аргон массой г. Давление смеси МПа, температура К. Определить емкость баллона.

Дано:

Решение:

Для кислорода:

для аргона

По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. Поэтому, выражая каждое из парциальных давлений из уравнения Менделеева – Клапейрона, получим

Откуда емкость баллона:

Вычисляя, получим:

Проверка размерностей:

Ответ: .

Пример 5. В баллоне емкостью 10 л находится гелий под давлением 1 МПа при температуре 300 К. После того как из баллона было взято 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до 290 К. Определить давление газа, оставшегося в баллоне.

Дано:

Решение:

Очевидно, что после того, как из баллона было взято 10 г газа, оставшаяся масса газа занимает тот же объем 10 л.

Поэтому .При этом , где - масса взятого из баллона газа.

Для конечного состояния запишем уравнение Менделеева - Клапейрона

из которого выразим неизвестное :

Найдем массу (также из уравнения Менделеева - Клапейрона для начального состояния) и подставим в выражение для . Получим:

После преобразований имеем:

Проверка размерностей:

Ответ:

Пример 6. В резервуаре объемом 1,2 м³ находится смесь 10 кг азота и 4 кг водорода при температуре 300 К. Определить давление и молярную массу смеси газов.

Дано:

Решение:

По закону Дальтона

,(*)

где -парциальное давление азота, - водорода. Из уравнения Менделеева -Клапейрона для азота и водорода выразим , и подставим в (*):

Молярная масса смеси газов определяется следующей формулой

где - количество молей азота, - водорода.

Вычислим и .

Проверка размерностей:

Ответ: ;

Пример 7. Для газа, давление которого 750 мм рт. ст.и температура 27^оС, определить концентрацию молекул и среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы.

Дано:

Решение:

Средняя кинетическая энергия движения одной молекулы:

- число степеней свободы,

- постоянная Больцмана

Для поступательного движения , поэтому:

Концентрацию молекул найдем из уравнения .

Произведем вычисления:

Проверка размерностей:

;

Ответ: ; .

Пример 8. Найти средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К.

Дано:

Решение:

Средняя кинетическая энергия движения молекулы:

где - число степеней свободы,

- постоянная Больцмана

Молекула водорода двухатомная. Число степеней свободы молекулы водорода равно 5. Поступательному движению соответствует три степени свободы , вращательному – две . Тогда средняя кинетическая энергии одной молекулы будет:

а) для поступательного движения - ;

б) для вращательного движения - .

Для нахождения кинетической энергии поступательного и вращательного движения всех молекул необходимо найти число молекул в газе массой .

где - число молей, - постоянная Авогадро. Тогда средняя кинетическая энергия движения молекул водорода будет:

- для поступательного движения –

;

- для вращательного движения – ,

где - молярная газовая постоянная.

Вычисления:

Проверка размерностей:

Ответ: ; .

Пример 9. Газ, занимавший объем 20 л при нормальных условиях, был изобарически нагрет до 80^оС. Определить работу расширения газа.

Дано:

Решение:

Нормальные условия:

Работа расширения газа при изобарическом процессе определяется по формуле:

Число молей определим из уравнения Менделеева - Клапейрона

, откуда . Тогда:

Проверка размерностей:

Ответ: .

Пример 10. Азот массой 2 кг охлаждают при постоянном давлении от 400 К до 300 К. Определить изменение внутренней энергии, внешнюю работу и количество выделенной теплоты.

Дано:

Решение:

При изобарическом процессе при сообщении газу массой количества теплоты его внутренняя энергия возрастает на величину

при этом количество теплоты определяется следующим выражением:

Здесь - молярная теплоемкость при постоянном объеме, - молярная теплоемкость при постоянном давлении, причем

, ,

где - число степеней свободы молекул. Для двухатомных молекул газов

. Поэтому

,(*)

.(**)

Работа газа при изменении объема от до при изобарическом процессе равна

Выражение для найдем, используя уравнение Менделеева-Клапейрона для начального и конечного состояний:

; .

Отсюда следует, что

а выражение для работы имеет вид:

(***)

Вычислим значения , , , см. выражения (*), (**), (***).

Несложно заметить, что одна из трех физических величин , , могла быть найдена по найденным значениям двух других с использованием первого начала термодинамики, т.е. с использованием выражения .

Ответ: , , .

Пример 11. Определить удельные теплоемкости и для смеси 1 кг азота и 1 кг гелия.

Дано:

Решение:

Удельной теплоемкостью газа называется величина, равная количеству теплоты, которое нужно сообщить единице массы тела, чтобы повысить его температуру на 1 градус.

Величина теплоемкости зависит от условий, при которых происходит нагревание: при постоянном объеме (теплоемкость ) или при постоянном давлении (теплоемкость )

А) Нагревание при постоянном объеме. Количество теплоты равно . Отсюда

причем , т.е. все сообщаемое количество теплоты идет на изменение внутренней энергии системы, а работа по расширению газа равна нулю (). Изменение внутренней энергии смеси газов определяется формулой:

Здесь , - число степеней свободы первого и второго газов. Окончательно получим:

Б) Нагревание при постоянном давлении. Количество теплоты равно . Отсюда

причем , т.е сообщаемое газу количество теплоты идет не только на изменение внутренней энергии, но и на работу по расширению газа. При изобарическом расширении работа для каждого из двух газов равна:

, ,

Поэтому:

Выражение для будет иметь вид:

Вычислим для условий задачи значения и :

Проверка размерностей:

Ответ: , .

Пример 12. Аргон при давлении 0,8 атм. изменил объем с 1л до 2 л. Найти изменении внутренней энергии для двух случаев: а) расширение было изобарическим; б) расширение было адиабатическим.

Дано:

Решение:

Согласно первому началу термодинамики переданное системе количество теплоты расходуется на увеличение внутренней энергии и на совершение механической работы .

(*)

А) Изобарическое расширение. Для изменения внутренней энергии можно записать

где -удельная, - молярная теплоемкости, - число степеней свободы. В выражение для входят неизвестные и , которые могут быть найдены из уравнений Менделеева - Клапейрона для начального и конечного состояний с учетом того, что :

; .

отсюда или . Потому

Подставив выражение для в формулу для , окончательно получим:

Вычислим для изобарического процесса.

Б) Адиабатическое расширение.

При адиабатическом расширении теплообмена с внешне средой не происходит, поэтому . Уравнение (*) имеет вид:

или

Последнее уравнение говорит о том, работа расширения газа при адиабатическом процессе может быть произведена только за счет убыли внутренней энергии газа. Формула для работы адиабатического процесса имеет вид:

Здесь - показатель степени адиабаты. Поскольку , то

Поскольку (уравнение Менделеева – Клапейрона), то получим , выраженное через заданные в условии параметры:

Вычислим для адиабатического процесса.

Ответ: а) ; б) .

Пример 13. В цилиндре под поршнем находится водород массой 0,02 кг при температуре 27^оС. Сначала водород расширился адиабатически, при этом объем увеличился в 5 раз, затем был сжат изотермически, при этом объем уменьшился в 5 раз. Найти: а) температуру в конце адиабатического расширения; б) полную работу, совершенную газом.

Дано:

Решение:

- число степеней свободы

а) При адиабатическом процессе температура и объем связаны соотношением ,

откуда ,

где

Вычислим :

б) Полная работа, совершенная газом , где - работа газа при адиабатическом расширении, - работа газа при изотермическом сжатии. Запишем выражения для них:

(здесь учтено, что ),

Вычислим , , :

(знак минус указывает, сто при сжатии газа работа совершается над газом внешними силами).

Проверка размерностей:

Ответ: а) ; б) .

Пример 14. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, совершает за цикл работу . Температура нагревателя 400 К, температура холодильника 260 К. Найти: а) кпд машины; б) количество теплоты, получаемое машиной от нагревателя за один цикл; в) количество теплоты, отдаваемое машиной холодильнику за один цикл.

Дано:

Решение:

а) КПД цикла Карно

,(*)

где - количество теплоты, полученное от нагревателя, - количество теплоты, отданное холодильнику, - работа, совершаемая рабочим телом тепловой машины.

Выражение (*) позволяет вычислить кпд:

б) Из выражения (*) имеем, что:

Вычислим :

в) Поскольку , то , откуда

Ответ: а) ; б) ; .

Пример 15. В результате изотермического расширения объем кислорода увеличился в 2 раза. Определить изменение энтропии газа.

Дано:

Решение:

Изменение энтропии системы определяется по формуле

где - количество тепла, сообщенное газу, - абсолютная температура,

, - значения энтропии в начальном и конечном состояниях системы.

При изотермическом расширении все подводимое количество теплоты идет на работу по расширению, т.е.

Из уравнения Менделеева – Клапейрона следует, что , поэтому , .

Интегрируем последнее выражение:

Таким образом, искомое изменение энтропии:

Проверка размерностей:

Ответ:

Пример 16. Как изменится энтропия 2 г водорода, занимающего объем 40 л при температуре 270 К, если давление увеличить вдвое при постоянной температуре, а затем повысить температуру до 320 К?

Дано:

Решение:

Изменение энтропии системы определяется по формуле

Используя первое начало термодинамики, найдем изменение количества теплоты :

.(*)

Здесь - масса газа, - молярная масса газа, - молярная теплоемкость при постоянном объеме, - изменение температуры газа, - давление газа, - изменение объема, - работа расширения газа.