Примеры решения задач

Пример 1. Материальная точка движется по прямой. Уравнение ее движения . В интервале времени от 1 до 2с найти мгновенные скорости и ускорения в начале и конце интервала. Найти также среднюю скорость движения.

Дано:	Решение:
	, , .

, , .

Ответ: ,, , , .

Пример 2. Мотоциклист двигается по окружности на арене цирка. В некоторый момент времени, когда его скорость была равна 72 км/час он выключает двигатель мотоцикла и, продолжая двигаться по окружности, проходит путь м за время Т=10 с. Определить скорость и полное ускорение мотоциклиста в конце этого пути. Радиус окружности принять равным м.

Дано:	Решение:
	Обозначим скорость мотоциклиста в момент отключения двигателя и будем считать этот момент началом отсчета времени .Начиная с этого момента времени скорость мотоциклиста будет изменяться не только по направлению, но и по величине. Величина (модуль) полного ускорения будет равна

,

где - нормальное ускорение, - тангенциальное ускорение. Путь и скорость мотоциклиста будут определяться формулами:

,

Выразим из первой формулы

,

и подставим во вторую. Получим величину скорости в момент времени :

.

Полное ускорение мотоциклиста будет равно:

Ответ:

Пример 3. Тело брошено со скоростью , направленной под углом к горизонту. Найти: 1) уравнение траектории, по которой тело будет двигаться; 2) Время подъема, время спуска и время полета тела; 3) Дальность полета; 4) Максимальную высоту подъема тела.

Решение:

Уравнение движения тела имеет вид:

- по оси : ,

-по оси : .

Здесь - координаты точки начала движения, , - проекции вектора начальной скорости и ускорения тела.

Выберем систему координат так, чтобы ось была направлена вертикально вверх, а начало координат совпадало с точкой бросания. Тогда: ; ; , где - ускорение свободного падения. Уравнения движения будут иметь вид:

(*)

(**)

1) Найдем уравнение траектории. Из уравнения (*) находим, что . Подставив это выражение в уравнение (**), получим:

Очевидно, что полученное уравнение траектории движения тела есть уравнение параболы.

2) Найдем время подъема тела на максимальную высоту. Учтем, что , . Очевидно, что при . Из уравнения находим, что

Найдем время, которое тело находится в полете (), а также время спуска тела с максимальной высоты (). Очевидно, что при , т.е. . Отсюда следует, что:

Сравнивая выражения для и , заметим, что . Учитывая, что , получим достаточно очевидный результат:

.

3) Найдем дальность полета тела . Очевидно, что при координата.

Поэтому дальность полета или

Несложно заметить, что наибольшая дальность полета достигается при бросании тела под углом к горизонту.

4) Максимальную высоту подъема тела найдем из условия при .

Поэтому или

.

Очевидно, что наибольшая высота подъема тела достигается при бросании тела под углом к горизонту, т.е. вертикально вверх.

Пример 4. Металлический шарик массой 5г падает с высоты 1м на горизонтальную металлическую плиту, отражается от нее и поднимается на высоту 0,8м. Определить среднюю силу удара, если соприкосновение шарика со столом длилось 0,01с.

Дано:	Решение:
	Импульс силы будет равен изменению импульса шарика, т.е., где - скорости шарика при подлете и отскоке от плиты. Знак минус означает, что направление скорости противоположно направлению скорости . Поэтому

(*)

При свободном падении с высоты скорость тела на уровне определяется по формуле , где - ускорение свободного падения. Подставляя значение в выражение (*), получим:

Проверка размерностей:

Пример 5. Зависимость угла поворота от времени для точки, лежащей на ободе колеса радиуса , задается уравнением . К концу третьей секунды эта точка получила нормальное ускорение, равное . Определить радиус колеса.

Дано:	Решение:
	(*), где угловая скорость . В конце третьей секунды .

Из выражения (*) следует, что

Пример 6. Шар и полый цилиндр одинаковой массы катятся равномерно без скольжения по горизонтальной поверхности и обладают одинаковой кинетической энергией. Во сколько раз отличаются их линейные скорости?

Дано:	Решение:
	Кинетическая энергия тела, участвующая одновременно в двух движениях, равна сумме кинетических энергий поступательного - и вращательного - движений: .

Моменты инерции полого цилиндра и шара соответственно равны:

, . Учитывая, что , получим выражения для кинетических энергий цилиндра и шара

Поскольку и , то . Откуда

или ,

т.е скорость шара в 1,2 раза больше скорости цилиндра.

Пример 7. Легкая нить с прикрепленным к ней грузом массой 2 кг намотана на сплошной вал радиусом 10 см. При разматывании нити груз опускается с ускорением 0,5 м/с². Найти массу и момент инерции вала.

Дано:	Решение:
	Уравнение динамики вращательного движения , где - момент инерции вала, - угловое ускорение, - радиус вала. На вал действует тангенциальная сила , создающая

вращающий момент, равный . Поэтому

,

Момент инерции вала (сплошного цилиндра) равен , откуда

, .

Пример 8. Сплошной диск радиусом 20 см вращается под действием постоянной касательной силы 40 Н. Кроме того, на него действует момент сил трения 2 Н·м. Угловое ускорение диска равно 30 рад/с. Определить массу диска.

Дано:	Решение:
	Уравнение динамики вращательного движения (*), где - сумма моментов всех сил, действующих на диск. В нашем случае . Учитывая, что момент инерции сплошного диска

, где - масса, а - радиус диска, уравнение (*) запишем в виде:

Отсюда

или

Пример 9. Человек, масса которого 70 кг, прыгает с неподвижной тележки со скоростью 7 м/с. Определить силу трения тележки о землю, если перед прыжком тележка была неподвижна относительно земли, а после прыжка остановилась через 5 с.

Дано:	Решение:
	Найдем скорость тележки, которую она приобрела после прыжка. В соответствии с законом сохранения импульса (систему человек-тележка считаем изолированной) имеем:

Здесь -скорости тележки до и в момент прыжка соответственно, причем до прыжка скорости человека и тележки равны и равны нулю, т.е. ; - скорость человека в момент прыжка; - массы тележки и человека. Поэтому , откуда

.

После того как тележка пришла в движение (т.к. получила импульс ) она двигалась под действием силы трения, в результате чего она за время остановилась (ее импульс стал равным нулю). Изменение импульса тележки за этот промежуток времени составило:

Поскольку , то

.

Полученное выражение показывает, что сила трения будет совпадать по направлению со скоростью человека в момент прыжка , т.е. будет противоположна направлению движения тележки в этот момент. Величина этой силы

Пример 10. Платформа в виде сплошного диска радиусом 1,5 м и массой 180 кг вращается по инерции вокруг вертикальной оси, совпадающей с геометрической осью платформы, с частотой . В центре платформы стоит человек массой 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Дано:	Решение:
	Поскольку платформа вращается по инерции, сторонних сил нет. В этом случае для системы человек – платформа справедлив закон сохранения момента импульса относительно оси вращения ,

где - момент инерции платформы с человеком относительно оси , - угловая скорость платформы. Т.к. момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в систему, то , где - моменты инерции платформы и человека.

Тогда (*) .

Пусть и - моменты инерции платформы и человека до и после перехода человека на край платформы. Тогда закон сохранения момента импульса (*) будет иметь вид:

(**).

Здесь - угловая скорость вращения платформы после перехода человека, , - искомая линейная скорость.

Момент инерции платформы относительно оси до и после перехода человека не изменится, т.е. (форма платформы – диск). Момент инерции человека относительно оси будет изменяться: (человек в центре платформы, ), (человек на граю платформы радиусом ). С учетом этого запишем выражение (**):

Отсюда находим :

.

.

Пример 11. При выстреле пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой 20 г поднялась на высоту 5 м. Определить жесткость пружины пистолета, если она была сжата на 10 см. Сопротивлением воздуха и массой пружины пренебречь.

Дано:	Решение:
	Потенциальная энергия сжатой пружины при выстреле преобразуется в кинетическую энергию пули . Поэтому можно записать, что

Запишем для пули закон сохранения полной механической энергии:

Положив (нулевой уровень выберем совпадающим с точкой, в которой пружина пистолета несжатая) и учитывая, что наивысшей точке траектории пули , а , получим . Откуда

Пример 12. К катящемуся по горизонтальной поверхности шару массой 1 кг приложили силу 1 Н и остановили его. Путь торможения составил 1 м. Определить скорость шара до начала торможения.

Дано:	Решение:
	Кинетическая энергия катящегося шара равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений ,

где - масса шара, - его момент инерции, и - линейная и угловая скорости. Учитывая, что и , где - радиус шара, запишем для :

Работа тормозящей силы на пути будет равна изменению кинетической энергии шара. Это изменение равно поскольку шар остановился. Поэтому , откуда

,

Пример 13. С какой скоростью с поверхности Солнца должна быть выброшена частица, чтобы она могла удалиться в бесконечность?

Дано:	Решение:
Используем справочные данные: - радиус Солнца; - масса Солнца; - гравитационная постоянная.	Кинетическая энергия частицы (Е) должна быть не меньше работы (А), совершаемой против сил притяжения частицы к Солнцу, т.е. или , откуда (*)

Работа будет работой переменной силы притяжения частицы массой к Солнцу (закон всемирного тяготения), т.к. эта сила зависит от расстояния от Солнца. Элементарная работа силы будет:

Полная работа:

Поэтому:

Проверка размерностей:

Пример 14. Протон движется со скоростью, равной 0,7 скорости света. Найти импульс и кинетическую энергию протона.

Дано:	Решение:
Используем справочные данные: - масса покоя протона; - скорость света в вакууме;	Импульс частицы в релятивистской механике определяется по формуле , где .

Кинетическая энергия в релятивистской механике определяется как разность между полной энергией и энергией покоя этой частицы:

Проверка размерностей:

Пример 15. Космическая ракета движется с большой относительной скоростью. Релятивистское сокращение ее длины составило 36%. Определить скорость движения ракеты.

Дано:	Решение:
	В системе координат, относительно которой ракета покоится, ее длина равна . В системе координат, относительно которой ракета движется со скоростью , ее длина равна . Эти длины связаны соотношением: , где .

По условию задачи или . Откуда . С другой стороны . Поэтому и .

Откуда: .

Пример 16. С момента образования до распада -мезон пролетел расстояние 1,35 км в системе координат, связанной с Землей. Время жизни -мезона в этой системе координат равно 5 мкс. Определить время жизни -мезона в системе координат, связанной с -мезоном.

Дано:	Решение:
	Скорость движения системы координат, связанной с -мезоном, относительно Земли равна: Время жизни -мезона в системе координат, связанной с Землей, равно

,

где искомое - время жизни -мезона в системе координат, связанной с ним. Отсюда: .

Вычисления:

.