Глава 2

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

2.1. Определение последовательности, способы задания,

операции над последовательностями

Определение 1. Последовательностью действительных чисел называется отображение , определенное на множестве всех натуральных чисел Кратко ее обозначают символом . Число называется общим членом последовательности. Иными словами, последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента.

Пример 1. . Тогда имеем , и т.д.

Заметим, что обратная операция – нахождение выражения -го члена последовательности по нескольким первым членам этой последовательности – не имеет однозначного решения.

Последовательности могут быть заданы и соотношением, задающим выражение -го члена последовательности через ее предыдущие члены.

Пример 2. Равенства ; , , () определяют соответственно арифметическую и геометрическую прогрессии. Рекуррентно задана и последовательность Фибоначчи , в которой каждый член (начиная с третьего) равен сумме двух предыдущих. Полное рекуррентное задание этой последовательности таково: , , , .

Определение 2. Последовательности и называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей и (для частного ).

2.2. Предел последовательности. Частичные пределы, верхний и нижний пределы

Рассмотрим последовательность с общим членом , при члены последовательности неограниченно приближаются к 1. На языке математического анализа выражение «неограниченно приближается» означает, что какое бы малое число мы ни взяли, начиная с некоторого номера все члены последовательности будут сколь угодно мало отличаться от .

Определение 1. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа существует такой номер , что при всех выполняется неравенство . Обозначение . Кратко определение предела записывается так: .

Неравенство равносильно двойному неравенству , которое показывает, что элементы при находятся в окрестности точки . Поэтому геометрически определение предела формулируется так.

Определение 2. Число называется пределом последовательности , если для любой -окрестности точки найдется такое натуральное число , что все значения , для которых , попадут в -окрестность точки .

Ясно, что чем меньше тем больше число , но в любом случае внутри -окрестности точки находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее находится лишь конечное число членов последовательности.

Выясним геометрический смысл определения предела последовательности.

Неравенство |x_n – a|<ε равносильно неравенствам -ε < x_n - а <ε или а - ε < x_n < a+ ε, которые показывают, что элемент x_n находится в ε -окрестности точки а.

Рис.1

Поэтому определение предела последовательности геометрически

можно сформулировать так: число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любой ε-окрестности точки а найдется натуральное число N, что все значения x_n , для которых n > N, попадут в ε -окрестность точки а (см. рис. 1).

Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, а последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Например, последовательность не имеет предела.

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Для доказательства утверждения применим метод от противного.

Пусть и . Если А₁≠А₂, то фиксируем непересекающиеся окрестности U(A₁), U(A₂) точек А₁, А_2. В качестве таковых можно взять, например, δ-окрестности этих точек при δ<│А₁–А₂│. По определению предела найдем числа N₁, N₂ такие, что все члены последовательности с номерами n>N₁ попадут в окрестность точки А₁, а с номерами n>N₂ в окрестность точки А_2. Тогда при n>max{N₁, N₂} получим x_n U(A₁)U(A₂). Но это невозможно, так как пересечение U(A₁)U(A₂)=.

Теорема 2. Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

Доказательство: Пусть. Полагая в определении предела ε=1, найдем номер N такой, что n>N справедливо неравенство│x_n–A│<1. Значит, при n>N имеем │x_n│<│A│+1. Если же теперь взять М>max{│x₁│,│x₂│,…,│x_n│,│A│+1}, то получим, что n>N все члены последовательности ограничены │x_n│<М.

Пример 1. Используя определение предела последовательности, докажем, что .

Решение. Зададим произвольное и рассмотрим модуль разности между -м членом последовательности и числом 1: . В соответствии с определением предела последовательности мы должны указать номер такой, что выполняется неравенство

. (1)

Для отыскания номера решим неравенство (1) относительно . Получим

. (2)

Из неравенства (2) следует, что в качестве можно взять целую часть числа : . В самом деле, если , то , т.е. справедливо неравенство (2), а значит, выполняется неравенство (1).

Итак, для произвольного мы указали такой номер , чтовыполняется неравенство. Это и означает по определению предела последовательности, что .

Пусть – некоторая числовая последовательность. Рассмотрим произвольную возрастающую последовательность целых положительных чисел (). Выберем из члены с номерами :

.

Полученная числовая последовательность называется подпоследовательностью последовательности .

Теорема 3. Если , то любая подпоследовательность сходится к при .

Определение 3. Число называется предельной точкой (или частичным пределом) последовательности , если из последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к .

Можно и по другому сформулировать определение предельной точки.

Определение 4. Число называется предельной точкой последовательности , если в любой -окрестности точки содержится бесконечно много членов последовательности .

На языке последовательностей теорема Больцано-Вейерштрасса формулируется так.

Теорема 4 (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Из теоремы 3 следует, что сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с ее пределом.

Из теоремы 4 следует, что всякая ограниченная последовательность имеет, по крайней мере, одну предельную точку.

Определение 5. Наибольшая (наименьшая) предельная точка последовательности , ограниченной сверху (снизу), называется верхним (нижним) пределом этой последовательности и обозначается .

Очевидно, если сходится, то . Если последовательность не ограничена сверху (снизу), то полагают .

Пример 2. Доказать расходимость последовательности .

Решение. Рассмотрим две подпоследовательности этой последовательности и (). Очевидно, что , . Таким образом, последовательность имеет две предельные точки: и , а поэтому не может быть сходящейся, поскольку сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку.

Пример 3. Найти все предельные точки последовательности , верхний и нижний пределы этой последовательности.

Решение. Каждое из чисел , , , , , встречается в последовательности бесконечно много раз, поскольку . Поэтому каждое указанное число является предельной точкой последовательности . Других предельных точек последовательность не имеет, так как если число не совпадает ни с одним из этих 181 чисел, то существует окрестность точки , не содержащая ни одного члена последовательности. Из найденных 181 предельных точек наименьшей является , а наибольшей 1, т.е. , .