- •49.3 Линейная независимость системы попарно ортогональных векторов
- •49.4 Ортогонализация Шмидта
- •49.5 Конечномерные и бесконечномерные Евклидовы пространства
- •49.6 Комплексные евклидовы пространства
- •§50 Линейный оператор. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (ло). Инвариантные подпространства
- •50.1 Линейный оператор и его матрица в заданном базисе. Матрица суперпозиций линейного оператора
- •50.2 Матрицы перехода к другому базису
- •50.3 Матрица перехода для ортонормированного базиса
- •50.4 Инвариантные подпространства и ортогональные дополнения
- •50.5 Преобразование матрицы ло при переходе к другому базису
- •51.3 Существование одномерных и двумерных инвариантных подпространств
- •51.4 Линейная независимость собственных векторов, имеющих попарно-различные собственные значения
- •§53 Билинейный функционал. Квадратичная форма. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •53.1 Определение билинейного функционала
- •53.2 Общий вид билинейного функционала
- •53.3 Матрица билинейного функционала и её преобразования при переходе к другому базису
- •53.4 Квадратичная форма как симметричный билинейный функционал
- •Заключение
- •Критерии проставления оценок
- •Устная форма проведения экзамена
- •Что спрашивается на экзамене
- •О пользовании на экзамене конспектами или другой литературой
- •Литература
51.4 Линейная независимость собственных векторов, имеющих попарно-различные собственные значения
Покажем, что имеет место следующая теорема:
Теорема 51.6: Если собственные значения линейного оператора попарно различны, то соответствующие им собственные вектора линейно независимы.
Доказательство:
Используем метод математической индукции по числу собственных значений m :
-
База индукции: m=1
Так как собственный вектор x≠0, то система {x} линейно независима (см. §16, теорема 16.0).
-
Шаг индукции:
Имеем: вектора линейно независимы (попарно различные собственные значения - ; соответствующие им собственные вектора - ).
Рассмотрим произвольную линейную комбинацию для собственных векторов
(51.7)
Тогда
то есть доказано равенство
(51.8)
Умножая обе части (51.7) на λk+1 и вычитая полученное равенство из (51.8), имеем
(51.9)
А так как система линейно независима по индуктивному предположению, то
(51.10)
Ввиду того, что (то есть ) для любых j=1,…k (собственные значения попарно различны), из равенства (51.10) получаем, что
(51.11)
Подставляя вместо в (51.7) их значения из (51.11), получим, что , а так как , то из теоремы 16.0 имеем , то есть (см. (51.11): , и, следовательно, система линейно независима (ибо мы показали, что равенство (51.7) может выполняться только при нулевых значениях ). Теорема 51.6 доказана.
Простым следствием теоремы 51.6 является следующая теорема:
Теорема 51.7: Если все корни характеристического многочлена линейного оператора действительные и простые (попарно различные), то в линейном пространстве имеется базис из собственных векторов линейного оператора .
Рассмотрим матрицу линейного оператора в базисе его собственных векторов:
то есть эта матрица имеет вид:
и является диагональной матрицей.
Итак, доказаны следующие две теоремы:
Теорема 51.8: Матрица линейного оператора в базисе его собственных векторов является диагональной.
Теорема 51.9: Если уравнение
(51.12)
Имеет вещественные простые (попарно различные) корни, то существует такая невырожденная матрица C , что C-1∙A∙C является диагональной матрицей.
Эта матрица C будет матрицей перехода к базису из собственных векторов линейного оператора соответствующих собственным значением , являющихся корнями уравнения (51.12).
§52 Симметричный линейный оператор
52.1 Определение симметричного линейного оператора (СЛО)
Определение: действительный ЛОА симметричен, если для любых x и y элементов и из ЛП верно равенство .
52.2 Ортогональное дополнение и его инвариантность для симметричного линейного оператора
Теорема 52.2: если - СЛО, а - ИПП, то ортогональное дополнение - также ИПП т.е. (определения см. в § 50; п.50.4)
Доказательство:
52.3 Матрица симметричного линейного оператора
в ортогональном базисе
Если имеется СЛО, ОНБ и матрица в этом базисе. Тогда справедлива теорема 52.2: симметричный ЛО имеет ОНБ, состоящий из его собственных векторов и все его собственные значения действительны.
Введем условные обозначения: - собственное значение, а – собственный вектор СЛО
Доказательство:
действительное число
На этом вторая часть теоремы доказана. Перейдем к первой:
Пусть теперь так: λ - собственное значение СЛО, а x≠0 - его собственный вектор. Используем метод мат. индукции (от частного к общему).
-
База: пусть пространство одномерно. В таком случае базис состоит из одного (ненулевого) элемента, каким может быть в принципе собственный вектор χ.
-
Шаг: j=1,2…,k+1
((k+1) – размерность всех ЛП) -ИПП, значит - ИПП с размерностью (см. п.50.4 в § 50), где (в ) имеется ОНБ: из собственных векторов СЛО со значениями . Тогда - ОНБ во всем линейном пространстве из собственных векторов СЛО с собственными значениями
Отметим, что если - ОНБ из собственных векторов с собственными значениями , то согласно теореме 51.8 (см. п.51.4 в § 51), его матрица в базисе будет - диагональной матрицей.
Итак, доказано следующее:
Теорема 52.3: Любой симметричный ЛО имеет ортонормированный базис, в котором его матрица диагональна.
Если – матрица перехода в базисе собственных векторов симметричного линейного оператора , то так как базис у собственных векторов – ОНБ, то имеет место равенство (см. формулу (50.8) в п.50.3,§ 50).
Определение: матрица называется симметричной, если .
Теорема 52.4: Симметричный ЛО в ОНБ действительного ЛП имеет симметричную матрицу.
Доказательство:
Так как в действительном Евклидовом пространстве:
, тогда (см. формулу 50.1), т.е. из теоремы 53.5 и 53.4 легко следует.
Теорема 52.5: Для всякой симметричной матрицы А существует ортогональная матрица С такая, что матрица является диагональной матрицей. Матрица С является матрицей перехода к базису собственных векторов симметричного линейного оператора , заданного матрица A (т.е.).