- •49.3 Линейная независимость системы попарно ортогональных векторов
- •49.4 Ортогонализация Шмидта
- •49.5 Конечномерные и бесконечномерные Евклидовы пространства
- •49.6 Комплексные евклидовы пространства
- •§50 Линейный оператор. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (ло). Инвариантные подпространства
- •50.1 Линейный оператор и его матрица в заданном базисе. Матрица суперпозиций линейного оператора
- •50.2 Матрицы перехода к другому базису
- •50.3 Матрица перехода для ортонормированного базиса
- •50.4 Инвариантные подпространства и ортогональные дополнения
- •50.5 Преобразование матрицы ло при переходе к другому базису
- •51.3 Существование одномерных и двумерных инвариантных подпространств
- •51.4 Линейная независимость собственных векторов, имеющих попарно-различные собственные значения
- •§53 Билинейный функционал. Квадратичная форма. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •53.1 Определение билинейного функционала
- •53.2 Общий вид билинейного функционала
- •53.3 Матрица билинейного функционала и её преобразования при переходе к другому базису
- •53.4 Квадратичная форма как симметричный билинейный функционал
- •Заключение
- •Критерии проставления оценок
- •Устная форма проведения экзамена
- •Что спрашивается на экзамене
- •О пользовании на экзамене конспектами или другой литературой
- •Литература
50.5 Преобразование матрицы ло при переходе к другому базису
Пусть - матрица ЛО в базисе , а - матрица перехода от базиса к базису . Найдем матрицу ЛО в базисе . При этом из п.50.2 имеем (50.13)
( - элементы обратные матрицы использующие равенства (50.1) и (50.4)):
, где и
. Таким образом матрица ЛО в базисе появляется причем B=DС, где матрица ; D=C-1A. Мы показали что справедливо следующая теорема: Матрица линейного оператора в базисе является матрица B=C-1AC (50.14)
50.6 Характеристический многочлен линейного оператора
и его инвариантность относительно выбора базиса
Пусть имеется ЛО , переводящий ЛП X из самого себя и имеется базис. Тогда рассмотрим уравнение:
(50.15)
Равенство определяет P(λ) - характеристический многочлен ЛО . Этот многочлен не изменится, если изменить базис элементов (он инвариантен относительно выбора базиса):
§51 Собственные вектора и собственные значения линейного оператора
51.1 Определение собственных значений и собственных векторов
Определение: Число λ называется собственным значением линейного оператора , если найдется такой элемент x≠0 из линейного пространства, что
(51.1)
Определение: Элемент линейного пространств x, определённый равенством (51.1), называется собственным вектором линейного оператора , соответствующим собственному значению λ .
51.2 Связь собственных значений с корнями характеристического многочлена
Пусть линейный оператор в некотором базисе имеет матрицу A. Определим, какими должны быть его собственные значения. Для этого уравнение (51.1) перепишем в матричной форме (см. равенство (50.2)), причем за обозначим столбец координат элемента в базисе (то есть ):
, либо или (51.2)
Это означает, что система линейных уравнений (51.2) имеет ненулевое решение. А так как также является решением системы (51.2), то отсюда следует, что система (51.2) не определена, и поэтому (см. §7, теорема 7.1)
(51.3)
А уравнение (51.3) означает, что λ является корнем характеристического многочлена линейного оператора (см. п. 50.6 в § 50, равенство (50.15)).
Обратное следует из того, что если , то множество решений системы (51.2) является линейным пространством ненулевой размерности (см. §19, теорема 19.2), и, стало быть, имеет ненулевое решение. Мы показали, что справедливы следующие две теоремы:
Теорема 51.1: Число λ является собственным значением линейного оператора тогда и только тогда, когда оно является корнем его характеристического многочлена.
Теорема 51.2: Все собственные вектора, соответствующие заданному собственному значению λ, образуют линейное подпространство. Ибо столбцы их координат являются решением однородной системы (51.2)
51.3 Существование одномерных и двумерных инвариантных подпространств
Теорема 51.3: Линейная оболочка, натянутая на собственный вектор x, соответствующий собственному значению λ линейного оператора , является инвариантным подпространством линейного оператора .
Доказательство:
Для любого имеем y=αx при некотором α. Тогда , то есть и теорема 51.3 доказана.
А так как степень характеристического многочлена P(x) совпадает с размерностью всего линейного пространства, то имеет место следующая теорема:
Теорема 51.4: Всякий линейный оператор в линейном пространстве нечётной размерности имеет инвариантное одномерное подпространство (являющееся линейной оболочкой собственного вектора x, соответствующее собственному значению λ - вещественному корню характеристического многочлена линейного оператора ).
(- мнимая единица, т.е )
Пусть теперь - комплексный корень характеристического многочлена. Перейдя к матричной форме записи, получим, что система линейных уравнений (51.2) должна иметь комплексное ненулевое решение z=x+yj, или (A - вещественная матрица, ибо - вещественный линейный оператор):
(51.4)
Раскроем в (51.4) скобки:
Сравнивая вещественные и мнимые части обеих частей последнего равенства, имеем
и (51.5)
или, переходя к линейному оператору и полагая (см. (50.2)) ранее выбранный базис, получим:
и (51.6)
Берем теперь любое ,то есть при некоторых α и β. Тогда:
то есть L({x;y} (являющееся двумерным линейным подпространством) – инвариантное подпространство линейного оператора . Таким образом, доказана следующая теорема:
Теорема 51.5: Всякий линейный оператор имеет одномерное или двумерное инвариантное подпространство.