Введение

Данный курс предназначен для студентов всех специальностей первого курса МТУСИ (впрочем, он может читаться и в любом техническом ВУЗе). Курс состоит из следующих глав (разделов):

1. Определители

2. Матрицы и системы линейных уравнений

3. Векторная алгебра (в этот раздел входят также общая теория линейных пространств и исследование систем линейных уравнений)

4. Аналитическая геометрия – линии и поверхности второго порядка

5. Евклидовы пространства, линейные операторы и квадратичные формы

Вышеперечисленные главы курса взаимосвязаны; каждая последующая глава использует некоторые выводы из предыдущих разделов. Поэтому изучать курс надо в строго указанной последовательности.

Для усвоения данного курса, в основном нужно обладать лишь знаниями из программы средней школы. Однако, для краткости записи, вводятся также следующие обозначения (первые два из них в дискретной математике (см.[1, гл.1, §4]) называются кванторами):

- существует, имеется, есть;

- произвольный, любой, всякий;

- существует и единственный;

- такой, что.

Кроме того, нужно обладать хотя бы элементарными сведениями из теории множеств (см., например, [1, введение]). Тогда, например, следующие записи будут означать:

- прямаяпроходит через точку;

- точканаходится на прямой;

- прямаялежит в плоскости ;

- точкаявляется точкой пересечения прямых и ;

- прямые и не пересекаются.

При составлении курса я, в основном придерживался [2], [3], [4] и [5]. Однако данный курс отнюдь не повторяет вышеуказанные учебники. Некоторые элементы курса взяты из одного учебника, некоторые – из другого, некоторые из третьего, и они «соединены» так, чтобы получился полный взаимосвязанный курс. Если читатель захочет изучать курс по этим (или каким-либо другим) учебникам, то ему придется эти соединения делать самостоятельно. Кроме того, при составлении данного курса я пользовался лекциями, читаемыми в МГУ д.ф.м.н. проф. Л.А.Скорняковым (где я, например, взял доказательство теорем об ассоциативности произведения матриц и об инвариантности ранга матриц) и д.ф.м.н. проф. Ю.М. Смирновым (где я взял доказательство теоремы о корректности определения размерности линейного пространства). Некоторые теоремы данного курса (например, расстояние от точки до плоскости и от точки до прямой на плоскости) я доказывал самостоятельно.

Кстати, о размерности линейного пространства. Здесь я отошел от данного в [6] определения, которое, хотя корректно, легко и просто для запоминания, однако его строгое математическое использование трудно осуществить (с полными выводами) при исследовании систем линейных уравнений, а также при решении линейных однородных дифференциальных уравнений.

Практически все теоремы данного курса (в том числе и упоминаемые ранее теорема об инвариантности ранга матрицы (при её элементарных преобразованиях) и свойство ассоциативности произведения матриц) снабжены полными доказательствами, и доказательства всех теорем непременно нужно усвоить, если слушатель захочет получить хотя бы хорошую оценку. Исключение составляют лишь индуктивное определение определителей n–го порядка (их можно, например, найти в [7]), а также теорема об определителе произведения матриц – эти доказательства достаточно громоздки. Все остальные утверждения снабжены полными доказательствами, и для хорошего усвоения курса их нужно знать.

Могу порекомендовать также достаточно подробный учебник [8], охватывающий весь данный курс. Однако, в нем много «лишнего» - всё же это учебник для механико-математического факультета МГУ, т.е. для лиц, посвятивших себя глубокому и полному изучению математики.

Данный курс составлен из конспектов моих лекций у студентов, которые слушали меня в 2003, 2004,2005,2006 годах. Со своих конспектов данный курс набрали:

В.Ю. Федосеенков, А.К. Чичкан, В.Э. Журавлёв, И.Е. Власов (все из группы ОС0301); С.В. Захаров, Д.Д. Васильев, А.С. Бабий (группа ПС0402), И.Ю. Карташов, А.А.Макаров, А.В.Дорофеев, П.И. Пухов (группа СС0505),Н.Г.Сергеев, П.В.Осипов (группа КТ0601) . Всем вышеперечисленным студентам я (да наверное и ВЫ, дорогой читатель) выношу благодарность; без их помощи данный курс вряд ли бы увидел свет.

О нумерации формул, теорем, лемм и определений. Нумерация формул (теорем, лемм и определений)- двойная, цифры слева от «.» означает номер параграфа, где эта формула впервые встретилась, а справа от «.»-порядковый номер самой формулы.

Следует также иметь в виду, что данный курс набирался из студенческих конспектов моих лекций. А при чтении лекций была обычная нумерация (при этом если в данных лекциях были ссылки на формулы из предыдущих лекций, то эти формулы ( с соответствующими номерами) выписывались на доске в начале лекций. И чтобы избежать трудностей и ошибок, вышеперечисленные студенты, набиравшие данный курс из своих конспектов, просто приписывали ко всем номерам формул (слева) номер параграфа, где она встретилась, не заботясь о том, была или нет в данном параграфе предыдущая формула (на некоторых лекциях я читал и по 2,3 и по 4 параграфа). Поэтому бесполезно, например, искать формулу (22.3) – она была в предыдущем параграфе(под номером (21.3), ибо параграфы 21, 22, 23, 24 читались на одной лекции.

Теперь я Вам, читатель, советую набраться сил и терпения для изучения данного курса. А лучше, всё же, ходить на лекции, ибо живое слово ни одна книга не заменит.

В.И. Щербаков

Глава 1. Определители

§1. Определители 2-го и 3-го порядка

1.1 Определители 2-го порядка

Определителем 2-го порядка является выражение вида:

, (1.1)

где и - некоторые числа.

1.2 Определители 3-го порядка. Правило Саррюса

Правило Саррюса действует для вычисления определителей 3-го порядка (но не выше!). Работает оно так: складываются произведение элементов на главной диагонали (той, что следует из верхнего левого угла в правый нижний) и произведение элементов по «треугольникам», основания которых параллельны главной диагонали, а вычитаются, соответственно, произведение элементов побочной диагонали (той второй, что не главная) и произведения по «треугольникам» относительно её. Иным языком:

(1.2)