Решение

Вследствие сферической симметрии у вектора напряженности поля отлична от нуля только проекция на ось, проведенную из центра шара О. Выбирая в качестве замкнутой поверхности сферу радиуса r с центром в точке О, применим к этой сфере теорему Гаусса. Так как напряженность поля перпендикулярна этой сфере, поток вектора напряженности через эту сферу равен 4πr²E(r). Если r> R, то полный заряд внутри сферы равен q. Тогда E(r)=kq/r², φ(r)= kq/r, если r> R . Если r< R, то заряд внутри сферы q=0, и E(r )=0, φ(r)= kq/R=const.

7. Шар радиуса R равномерно заряжен с объемной плотностью заряда ρ. Определить разность потенциалов между точкой О в центре шара и точкой А на расстоянии 2R от центра.

Решение

Вследствие сферической симметрии у вектора напряженности поля отлична от нуля только проекция на ось, проведенную из центра шара О. Выбирая в качестве замкнутой поверхности сферу радиуса r с центром в точке О, применим к этой сфере теорему Гаусса. Так как напряженность поля перпендикулярна этой сфере, поток вектора напряженности через эту сферу равен 4πr²E(r). Если r> R, то полный заряд внутри сферы равен q=(4πR³/3)ρ, и E(r )=kq/r², φ(r)= kq/r. Если r< R, то заряд внутри сферы q=(4πr³/3)ρ, и E(r )=kqr/R³, φ(r)= kq/R +. Потенциал в центре шара φ(0)= 3kq/2R, потенциал в точке А φ(2R)= kq/2R. Разность потенциалов φ(0)- φ(2R)= kq/R.

8. Три одинаковых точечных заряда (масса каждого m, заряд q) удерживаются в вершинах правильного треугольника со стороной a. Определить скорости этих зарядов после того, как их отпустят, и они разлетятся на большое расстояние друг от друга.

Решение

В силу симметрии заряды приобретут одинаковые скорости v, их полная кинетическая энергия будет 3mv²/2. В начальном состоянии потенциальная энергия взаимодействия каждой пары зарядов составляет q²/a, потенциальная энергия взаимодействия каждого заряда с двумя другими составляет 2q²/a, потенциальная энергия взаимодеиствия всех зарядов друг с другом 3(2q²/a)=6 q²/a. Потенциальная энергия переходит в кинетическую, т.е. 3mv²/2=6 q²/a, откуда

9. В точке на границе раздела стекла и воздуха напряженность поля в воздухе составляет E₀=10 В/м, а угол между вектором напряженности и нормалью к поверхности составляет α=30˚.Определить вблизи той же точки напряженность поля в стекле и поверхностную плотность поляризационных зарядов. Диэлектрическая проницаемость стекла ε.

Решение.

Пусть Е₁ – напряженность элекрического поля в стекле, β - угол между направлением вектора напряженности в стекле и нормалью. Тангенциальная составляющая напряженности в воздухе E_t1= E₀sinα, в стекле – E_t2=E₁sinβ. Нормальная составляющая вектора индукции в воздухе D_n1= ε₀E₀cosα, в стекле D_n2= εε₀E₁ cosβ. Условия непрерывности тангенциальной составляющей напряженности и нормальной составляющей индукции на границе раздела:

E₀sinα= E₁sinβ

ε₀E₀cosα= εε₀E₁ cosβ

Разделив первое из уравнений на второе, получим

tgβ=εtgα.

Из первого уравнения найдем

Е₁=Е₀ sinα/sinβ

Пользуясь тригономерическим тождеством

,

получим . Подставив числа, получим β≈74˚, Е₁=5.2 В/м

10. Плоский конденсатор с площадью пластин S и расстоянием между ними d подключен к батарее с разностью потенциалов U. Параллельно обкладкам в него вдвигают проводящую пластину толщины L<d. Определить напряженность электрического поля во всем пространстве между обкладками конденсатора и емкость образовавшейся системы.

Решение.

Конденсатор с вдвинутой в него проводящей пластиной можно рассматривать как два последовательно соединенных плоских конденсатора с расстоянием между пластинами d₁ и d₂, причем d₁₊ d₂=d-L. Емкости этих конденсаторов C_1,2=ε₀S/d_1,2. При последовательном соединении складываются обратные величины емкостей:

,

Заряд на пластинах конденсатора q=CU, напряженность поля в воздухе между пластинами E=q/ε₀S=U/(d-L), внутри металлической пластины Е=0.

11. Плоский конденсатор с площадью пластин S и расстоянием между ними d подключен к батарее с разностью потенциалов U. Параллельно обкладкам в него вдвигают диэлектрическую пластину толщины L<d с диэлектрической проницаемостью ε. Определить напряженность электрического поля во всем пространстве между обкладками конденсатора и поверхностную плотность поляризационных зарядов.

Решение.

Индукция и напряженность электричекого поля в плоском конденсаторе перпендикулярны пластинам конденсатора и плоскости диэлектрической пластины, т.е. имеет только нормальную составляющую. Следовательно, индукция поля в конденсаторе непрерывна.

В воздушных промежутках напряженность поля E=q/ε₀S, индукция D= ε₀E=q/S. В диэлектрике напряженность поля E₁, индукция D= εε₀E₁=q/S. Таким образом, E₁=q/εε₀S=E/ε, разность потенциалов между пластинами конденсатора:

U=E(d-L)+ E₁L=E(d-L+L/ε)=q(d-L+L/ε)/ε₀S, q=Uε₀S/(d-L+L/ε), E=U/(d-L+L/ε), E₁= E/ε= U/ε(d-L+L/ε)

Поляризация диэлектрика P=D- ε₀ E₁=(ε-1)ε₀E₁=(ε-1)ε₀ U/ε(d-L+L/ε) равна поверхностной плотности поляризационных зарядов σ_пол= -Р=-(ε-1)ε₀ U/ε(d-L+L/ε).

12. Сферический конденсатор образован двумя концентрическими проводящими сферами радиусов R₁ и R₂ (R₁ < R₂). Внутренней сфере сообщают заряд q, а внешней –q. Определить разность потенциалов между обкладками сферического конденсатора, его емкость и энергию электрического поля.